Дифференцирование. Интегрирование
Задание 1. Найти производные функций
a)
Пусть , , тогда
b)
Если функция имеет вид , то её производная находится по формуле .
Перейдем от десятичного логарифма к натуральному:
По свойству логарифма
Таким образом,
c)
Продифференцируем уравнение, считая y функцией от х:
Задание 2. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график функции
Областью определения функции являются все действительные числа,
кроме х=0. В точке х=0 функция разрывна.
Функция нечетная, т. к.
Функция не пересекается с осями координат (уравнение y=0 не имеет решений).
Найдем производную функции:
.
Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю.
Функция возрастает в промежутке (-?; - 1) U (1; ?)
и убывает в промежутке (-1; 0) U (0; 1).
Функция имеет экстремумы: максимум - в точке х=-1, минимум - в точке х=1.
Исследуем функцию на выпуклость / вогнутость.
Для этого найдем производную второго порядка и, приравняв её к нулю, вычислим критические точки второго рода.
В точке х=0 вторая производная не существует, т. к. это точка разрыва функции. В интервале (-?; 0) <0, следовательно, график функции в этом интервале выпуклый. В интервале (0;?) >0, следовательно, график функции в этом интервале вогнутый.
Асимптоты графика функции :
1) вертикальная асимптота - прямая х=0
Т.к. и
2) горизонтальных асимптот нет,
т. к. и
3) наклонных асимптот нет,
т. к.
и
Задание 3. Найти экстремумы функции Z = ln (3 - x2 + 2x - y2)
Найдем частные производные первого порядка.
М (1; 0) - стационарная точка.
Найдем вторые производные и их значения в точке М.
>0 Следовательно, функция Z = ln (3 - x2 + 2x - y2) имеет экстремум в точке М (1; 0) - максимум, т. к. A< 0.
Задание 4. Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием
a)
Решаем методом замены переменной. Положим ,
тогда ,
Таким образом, получаем
Вернемся к переменной х.
Проверим дифференцированием:
b)
Воспользуемся таблицей неопределенных интегралов [Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Наука, 1972. - 872 с.:ил. - С. 850]
С
Проверим дифференцированием:
c)
Неправильную рациональную дробь приводим к правильной делением числителя на знаменатель, получаем
Согласно свойству интервала алгебраической суммы, имеем
Подстановка приводит интеграл к виду
Возвращаясь к аргументу х, получаем
Таким образом, ,
где С=С1+С2
Проверим дифференцированием:
Задание 5. Вычислить определенный интеграл
Сначала вычислим неопределенный интеграл методом замены переменной. Полагая , находим
Вернемся к переменной х.
Таким образом,
Библиографический список
1. Баврин, И.И. Высшая математика: учебник/ И.И. Баврин. - М.: Академия, 2003. - 616 с.:ил.
2. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. - М.: Наука, 1972. - 872 с.:ил.
3. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике/М.Я. Выгодский. - СПб.: Изд. «Санкт-Петербург оркестр», 1994. - 416 с.:ил.
