Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования
2
Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулированияОпределение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений может быть пока успешно выполнена только для сравнительно простых объектов. Как правило, в редких случаях можно при небольшой затрате времени составить достаточно точное дифференциальное уравнение объекта.В настоящие время при составлении дифференциальных уравнений элементов и систем регулирования принято пользоваться безразмерными переменными величинами. Для этого отклонения величин относят к каким-либо постоянным (базовым) значениям величин, например к максимальным или средним (номинальным). Выражая входную и выходную величины элемента (или системы) в долях от этих базовых величин, вводят безразмерные координаты.Например, уравнение(
С*d (Q) /СC*dt) + Q= 2*I0*R*I/ СC*F (1)I/I = XВХ характеризует относительное отклонение входной величины от базового значения, а
Q/ Q0 = Хвых относительное отклонение выходной величины. Для перехода от размерной формы записи дифференциального уравнения к безразмерной производят замену абсолютных координат относительными. Так, например, уравнение (
1) можно записать в безразмерной форме, заменив:
Q = Q0 *Хвых и I = I *XВХТогда
С* Q0* d Хвых / СC* F* dt + Q0 Хвых = 2* I02* R* XВХ/ СC*FРазделив обе части уравнения на
Q0, получим:
С* d Хвых / СC* F* dt + Хвых = 2* I02* R* XВХ/ СC*F* Q0Обозначим:
С / СC* F= Т 2* I02* R/ СC*F* Q0 = RКоэффициенты при производных от выходной величины называются постоянными времени и имеют размерность времениВ самом деле,
Сдж/град / СCвт/см2*град* F см = С / СC* Fдж*см2*град/град*вт*см2Коэффициент К при XВХ называется коэффициентом усиления, и естественно должен быть безразмерным:
2* I02А2* RОм/ СC вт/см2*град *F см * Q0град == 2* I02* R/ СC*F* Q0А2*Ом*см2*град/Вт*см2*град == 2* I02* R/ СC*F* Q00 = КУравнение (1) с учетом введённых обозначений будет иметь в безразмерной форме следующий вид:
Т* Х/ вых + Х вых = К* Х вх (2)Определим для примера уравнение кривой разгона термической печи, дифференциальное уравнение которой было введено ранее:
Т* Х/ вых + Х вых = К* Х вхБудем искать решение этого уравнения в виде
Х вых = С*еrt + K* Х вх 0Где r и С подлежат определениюПодставляя значения
Х вых и Х/ вых в уравнение (
2). Получим
Т* С*r*еrt + С*еrt = 0Сокращая на
С*еrt будем иметь:
Т* r + 1 = 0Откуда
r = - 1/Т и решение примет вид
Х вых = К* Х вх 0 (1-е-t/T)При
t = 0 Х вых = 0 следовательно
С = К* Х вх 0. тогда уравнение кривой разгона будет:
Х вых = К* Х вх 0 (1-е-t/T)График кривой разгона:При
t = выходная величина
Х вых достигает предельного значения
Х вых. уст = К* Х вх 0Коэффициент усиления
К определяет отношение установившихся значений выходной величины к входной:
К = Х вых. уст/ Х вх 0Коэффициент усиления может быть непосредственно найден из графика переходной функции; постоянная времени Т характеризует инерционность процесса.Таким образом, кривые разгона дают наглядное представление о характере протекания переходных процессов в системе или объекте.