Числовые характеристики случайной функции
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Заочная форма
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По Математике
Работу выполнил студент II курса
Оганян Арсен М.
шифр группа №
Санкт-Петербург
2010
Контрольная работа №1
1. Задана случайная функция
где, , .
Найти числовые характеристики , , .
Решение. Исходная случайная функция представляет собой сумму двух случайных функций, каждая из которых является произведением случайной величины на неслучайную функцию. Поэтому для определения математического ожидания воспользуемся следующими свойствами мат. ожидания:
- мат. ожидание суммы случайных функций равно сумме мат. ожиданий каждой функции;
- мат. ожидание произведения случайной величины на неслучайную функцию равно произведению мат. ожидания случайной величины на неслучайную функцию.
Таким образом, получим
Дисперсия случайной функции определяется как
С учетом исходных данных, найденного значения и указанных выше свойств мат. ожидания получим
Корреляционная функция случайной функции определяется как
С учетом исходных данных и найденного значения преобразуем произведение под знаком мат. ожидания следующим образом
В результате, получим
Ответ:
2. Дана спектральная плотность
Определить корреляционную функцию и дисперсию .
Решение. Корреляционная функция и дисперсия соответственно, при заданной спектральной плотности определяются как
С учетом исходных данных получим
3. Найти числовые характеристики производной случайной
функции, если
, .
Решение. Математическое ожидание производной случайной функции равно производной математического ожидания этой функции. Следовательно,
Корреляционная функция производной случайной функции равна второй смешанной частной производной от ее корреляционной функции
Дисперсия равна
.
Ответ:
Контрольная работа №2
1. Сгруппировать заданную выборку объема (количество интервалов равно 10).
2. Построить выборочную функцию распределения и гистограмму.
3. Вычислить среднее выборочное и несмещенную выборочную дисперсию .
4. Построить доверительный интервал для .
5. Используя критерий согласия , проверить гипотезу о нормальном распределении.
Решение. Расположим элементы заданной выборки по возрастающей:
Для группировки выборки по интервалам определим длину интервала по формуле
За левую границу интервала примем значение . Тогда правая граница равна . Группируя упорядоченную выборку по заданным интервалам, составим таблицу распределения выборки (табл. 1), в которую также сведем значения плотности частоты вариант интервала и значения выборочной функции распределения, которая определяется как
Табл. 1
|
Номер интервала | Частичный интервал | Сумма частот вариант интервала | Плотность частоты | Выборочная функция распределения | |
1 | -29-(-15) | 1 | 0,071 | 0,02 | |
2 | -15-(-1) | 7 | 0,5 | 0,16 | |
3 | -1-13 | 11 | 0,786 | 0,38 | |
4 | 13-27 | 12 | 0,857 | 0,62 | |
5 | 27-41 | 7 | 0,5 | 0,76 | |
6 | 41-55 | 6 | 0,429 | 0,88 | |
7 | 55-69 | 4 | 0,286 | 0,96 | |
8 | 69-83 | 1 | 0,071 | 0,98 | |
9 | 83-97 | 0 | 0 | 0,98 | |
10 | 97-111 | 1 | 0,071 | 1 | |
|
Используя значения последних двух столбцов, построим гистограмму и график выборочной функции распределения (рис. 1 и 2).
Рис. 1 - Гистограмма
Рис. 2 - Выборочная функция распределения
Выборочная средняя определяется как
Тогда с учетом табл. 1 получим
Несмещенная выборочная дисперсия определяется как
Тогда с учетом табл. 1 и найденного значения получим
Доверительный интервал для выборочного среднего (с надежностью ) определяется в виде
где
- функция Лапласа.
Примем . Тогда и согласно таблице для функции Лапласа . Следовательно, границы интервала равны
В результате, получили интервал вида
.
Для проверки гипотезы о нормальном распределении с использованием критерия требуется:
- рассчитать теоретические значения частот на каждом интервале по формуле
- рассчитать наблюдаемое значение величины по формуле
- сравнить полученное значение с табличным и сделать вывод.
Производя расчеты по указанным формулам, получим
Сведем полученные результаты в табл. 2.
Табл. 2
|
Номер интервала | Частичный интервал | Сумма частот вариант интервала | Теоретические частоты | |
1 | -29-(-15) | 1 | 2,223 | |
2 | -15-(-1) | 7 | 5,081 | |
3 | -1-13 | 11 | 8,606 | |
4 | 13-27 | 12 | 10,806 | |
5 | 27-41 | 7 | 10,057 | |
6 | 41-55 | 6 | 6,937 | |
7 | 55-69 | 4 | 3,547 | |
8 | 69-83 | 1 | 1,344 | |
9 | 83-97 | 0 | 0,378 | |
10 | 97-111 | 1 | 0,079 | |
|
Согласно табл. 2 имеем
Число степеней свободы выборки равно 10-3=7. Выберем из таблицы для данного числа степеней свободы наименьшее значение , превышающее . Согласно таблице при уровне значимости 0,025.
Таким образом, гипотеза о нормальном распределении выборки должна быть отвергнута с вероятностью ошибки 2,5%.