рефератырефератырефератырефератырефератырефератырефератырефераты

рефераты, скачать реферат, современные рефераты, реферат на тему, рефераты бесплатно, банк рефератов, реферат культура, виды рефератов, бесплатные рефераты, экономический реферат

"САМЫЙ БОЛЬШОЙ БАНК РЕФЕРАТОВ"

Портал Рефератов

рефераты
рефераты
рефераты

Аппроксимация функций

16

16

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Авиа- и ракетостроение»

Специальность 160801- «Ракетостроение»

Расчетно-графическая работа

по дисциплине «Основы САПР»

Аппроксимация функций

Омск 2006

Введение

Цель работы: Ознакомиться с методами интерполяции и аппроксимации функций

Задания:

Задание 1. Построить таблицу конечных разностей. Выполнить экстраполяцию на два узла от начала и от конца таблицы.

Задание 2. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа и с его помощью найти

значения функции в узлах, соответствующих полушагу таблицы.

Задание 3. Найти значение f(x) с помощью формул Ньютона интерполирования вперед и назад.

Задание 4. Выполнить квадратичную сплайн-интерполяцию (по 6 узлам). Проконтролировать полученные оценки для промежуточных узлов.

Задание 5. Считая выбранную таблицу заданной для диапазона от 0 до 2?, выполнить среднеквадратическую аппроксимацию тригонометрическим многочленом (отрезком ряда Фурье) третьей степени.

Исходные данные:

x=[11.0 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12];

y=[-0.00023,1.080087,2.064282,2.854531,3.37121,3.560925,3.402017,2.90698,2.121544,1.120452,0.000357];

1. Построение массива конечных разностей. Выполнение экстраполяции

Массив конечных разностей рассчитываем по формуле:

.

for i=1:10

for j=1:11-i

y(i+1,j)=y(i,j+1)-y(i,j);

end

end

Результат расчёта:

11,0

11,1

11,2

11,3

11,4

11,5

11,6

11,7

11,8

11,9

11,0

-0,0002

1,0801

2,0643

2.8545

3.3712

3.5609

3.4020

2.9070

2.1215

1.1205

0.0004

1.0803 0.9842 0.7902 0.5167 0.1897 -0.1589 -0.4950 -0.7854 -1.0011 -1.1201

-

-0.0961 -0.1939 -0.2736 -0.3270 -0.3486 -0.3361 -0.2904 -0.2157 -0.1190 -

-

-0.0978 -0.0796 -0.0534 -0.0217 0.0125 0.0457 0.0747 0.0967

-

-

-

0.0182 0.0262 0.0317 0.0342 0.0332 0.0290 0.0219

-

-

-

-

0.0080 0.0055 0.0024 -0.0009 -0.0042 -0.0071

-

-

-

-

-

-0.0025 -0.0031 -0.0033 -0.0033 -0.0029

-

-

-

-

-

-

-0.0006 -0.0002 0.0000 0.0004

-

-

-

-

-

-

-

0.0003 0.0003 0.0004

-

-

-

-

-

-

-

-

-0.0000 0.0001

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0.0002

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Экстраполяция на два узла от начала и конца таблицы с помощью многочлена Лагранжа.

n=11; % Степень многочлена

i=0;

for p=10.8:0.1:12.2

i=i+1;

x1(i)=p;

ff(i)=Lagrange(x,y,p,n);

end

for j=1:11

yy(j)=y(1,j);

end

subplot(2,1,1); plot(x,yy,'.-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on; title('Первоначальные данные')

subplot(2,1,2); plot(x1,ff,'.-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on; title('Экстраполяция')

Получим:

х

10.8

10.9

12.1

12.2

f(х)

-2,0234

-1,0701

-1,1291

-2,1535

Рис. 1. Экстраполяция на два узла многочленом Лагранжа

2. Нахождение значения приближенной функции с помощью многочлена Лагранжа

Запишем интерполяционный многочлен Лагранжа:

,

где х - произвольная координата на заданном интервале.

_____________________________________________________________

function [x]=Lagrange(x,y,a,n)

for i=1:n

for j=1:n

s(i,j)=1;

end

end

ss=1;

for j=1:n

for i=1:n

if j~=i

s(j,i)=(a-x(i))/(x(j)-x(i));

end

end

end

ss=prod(s,2);

L=0;

for k=1:n

L=L+y(1,k)*ss(k);

end

x=L;

_____________________________________________________________

i=0;

for p=11:0.01:12

i=i+1;

x1(i)=p;

ff(i)=Lagrange(x,y,x1(i),n);

end

subplot(2,1,2); plot(x1,ff,'.-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on; title('Интерполяция многочленом Лагранжа')

Рис. 2. Интерполяция многочленом Лагранжа

3. Определение значения функции с помощью формул Ньютона

а) Интерполяционная формула Ньютона для интерполирования вперёд:

где - промежуток между последовательными узлами интерполирования, (в рассматриваемом случае промежуток постоянен);

n - степень многочлена;

.

_____________________________________________________________

function [x]=Nuton_vp(k,x,y,n);

n=round(k)+1; % Степень многочлена

if n==12

n=11;

end

t=(k-1)/1;

t1(1)=1;

for j=2:n

t1(j)=t-(j-2);

end

t2=cumprod(t1);

for j=1:n

Pn(j)=y(j,1)*t2(j)/FACTORIAL(j-1);

end

x=sum(Pn,2);

_____________________________________________________________

n=11;

i=0;

for p=11:0.05:12

i=i+1;

a=0.5+i*0.5;

x1(i)=p;

ff(i)=Nuton_vp(a,x,y,n);

end

% Построение графика

subplot(2,1,2); plot(x1,ff,'.-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on

title('Интерполяция многочленом Ньютона вперёд')

Рис. 3. Интерполяция многочленом Ньютона вперёд

б) Формула Ньютона для интерполяции назад:

_____________________________________________________________

function [x]=Pnz(k,x,y);

n=12-round(k)+1; % Степень многочлена

if n==12

n=11;

end

t=(k-11)/1;

t1(1)=1;

for i=2:n

t1(i)=t+(i-2);

end

t2=cumprod(t1);

for i=1:n

Pn(i)=y(i,12-i)*t2(i)/FACTORIAL(i-1);

end

x=sum(Pn,2);

_____________________________________________________________

i=0;

for p=11:0.05:12

i=i+1;

a=0.5+i*0.5;

x1(i)=p;

ff(i)=Nuton_nz(a,x,y);

end

% Построение графика

subplot(2,1,2); plot(x1,ff,'.-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on

title('Интерполяция многочленом Ньютона назад')

Рис. 4. Интерполяция многочленом Ньютона назад

4. Квадратичная сплайн-интерполяция

Для того, чтобы выполнить квадратичную сплайн-интерполяцию по 6-ти узлам, необходимо задаться пятью уравнениями.

Рис. 5. К выводу коэффициентов при сплайн-интерполяции

При квадратичном сплайне уравнения будут иметь вид:

, .

На эти уравнения наложены следующие граничные условия:

, , , .

Вычислим производную

: , . (1)

Определим при : , . (2)

В рассматриваемом примере . С учетом этого, а также с учетом выражения (2) и условия , запишем следующую зависимость:

, .

Из условия и выражения (1) получим: .

Составим систему уравнений:

Решая эту систему, получим следующие зависимости для вычисления коэффициентов:

_____________________________________________________________

function [k]=Spl(aa,n,x,y);

c(1)=0;

b(1)=10*y(1,2)-10*y(1,1)-0.1*c(1);

for k=1:n-2

b(k+1)=0.2*c(k)+b(k);

c(k+1)=100*y(1,k+2)-100*y(1,k+1)-10*b(k+1);

end

j=floor(10*aa-109);

if j==6

j=5;

end

k=y(1,j)+b(j)*(aa-x(j))+c(j)*(aa-x(j))^2;

_____________________________________________________________

n=6;

clear yy; clear ff; clear x1; clear x1

for i=1:11

a=10.95+i*0.05;

ff(i)=Spline(a,n,x,y);

x3(i)=10.95+0.05*i;

end

for j=1:6

yy(j)=y(1,j);

x1(j)=x(j);

end

% Построение графика

subplot(2,1,1); plot(x1,yy,'o-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on

title('Первоначальные данные')

subplot(2,1,2); plot(x3,ff,'.-');ylabel('y'); xlabel('x'); grid on

title('Интерполяция сплайнами')

Рис. 6. Интерполяция квадратичным сплайном

5. Среднеквадратичная аппроксимация тригонометрическим многочленом третьей степени

Тригонометрический многочлен ищется в виде:

.

Коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

, , , .

где n - степень многочлена (в данном случае принимается n=3);

- число узловых точек.

_____________________________________________________________

function [x]=Furie(aa,x,y);

for i=1:11

xpi(i)=i*2*pi/11;

a=(aa-10.9)*10*2*pi/11;

end

n=3;

a0=sum(y,2)/11;

for i=1:3

for j=1:11

ak(i,j)=y(1,j)*cos(i*xpi(j));

bk(i,j)=y(1,j)*sin(i*xpi(j));

end

end

aksum=2*sum(ak,2)/11;

bksum=2*sum(bk,2)/11;

Tna=a0(1)+aksum(1)*cos(a)+bksum(1)*sin(a)+aksum(2)*cos(2*a)+bksum(2)*sin(2*a)+aksum(3)*cos(3*a)+bksum(3)*sin(3*a);

x=Tna;

_____________________________________________________________

for i=1:100

k(i)=10.99+i*0.01;

ff(i)=Furie(k(i),x,y);

end

for j=1:11

yy(j)=y(1,j);

end

subplot(2,1,2);

plot(x,yy,'o-',k,ff,'.-');ylabel('y');xlabel('x');grid on;

title('Аппроксимация тригонометрическим многочленом');

Рис. 7. Аппроксимация тригонометрическим многочленом

Список использованных источников

1. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Физматгиз, 1966.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

4. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1987.

6. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

7. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987.

рефераты
РЕФЕРАТЫ © 2010