Аналитическая математика
Задача № 1
Пусть . Найти: .
Решение.
Задача № 2
Исследовать функцию и построить ее график: .
Решение.
1) Область определения данной функции - вся числовая ось, т.к. дискриминант знаменателя , то он не обращается в нуль ни при каких значениях x.
2) Исследуем функцию на четность: , т.е. , т.е. данная функция не является ни четной, ни нечетной.
3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:
- точка пересечения с осью , - с осью .
4) Асимптоты.
Т.к. функция определена на всей числовой прямой, то- вертикальных асимптот нет.
- наклонных асимптот нет.
Горизонтальные асимптоты:
- горизонтальная асимптота при
5) Экстремумы, промежутки возрастания и убывания.
Исследуем ее на возрастание и убывание на каждом промежутке:
6) Промежутки выпуклости, точки перегиба.
Уравнение не имеет рациональных корней. Корни ищем приближенно. Подбирая первый корень, получим, что при остаток равен 0,00005385, т.е. практически равен нулю.
Разделим трехчлен на :
Найдем корни полученного квадратного уравнения:
Вычислим значение функции в каждой полученной точке и округлим полученные значения:
Устанавливаем промежутки выпуклости графика функции и находим точки его перегиба.
|
| | -29,77 | | -2,71 | | 2,48 | | |
| - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | |
| | -0,02 | | 0,33 | | 0,4 | | |
| Выпукла вверх | Точка перегиба | Выпукла вниз | Точка перегиба | Выпукла вверх | Точка перегиба | Выпукла вниз | |
|
Схематичный график данной функции:
Задача № 3
Найти пределы.
Решение.
а)
т.к.
б)
т.к.
Задача № 4
Найти производные.
Решение.
Задача № 5
Вычислить площадь фигуры ограниченной кривой и осью .
Решение.
Данная кривая является параболой с вершиной в точке , осью симметрии и пересекает ось в точках .
Чтобы найти площадь, выразим сначала y через x:
Площадь найдем как удвоенный интеграл по верхней части кривой:
.
Ответ: Площадь фигуры ограниченной кривой и осью равна .
Задача № 6
Вычислить интегралы.
Решение.
Задача № 7
Устройство состоит из 5 элементов, из которых 2 изношены. При включении устройства включаются случайным образом 2 элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.
Решение.
Задачу решим по формуле Бернулли .
У нас: .
Значит .
Ответ. Вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы, равна 0,2304.
Задача № 8
Случайная величина X задана функцией распределения
Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение: а) меньше 0,2; б) меньше 3; в) не меньше 3; г) не меньше 5.
Решение.
а)
б) .
в) .
г) .
Задача № 9
Используя данные распределения по возрасту лиц, осужденных за тяжкие телесные преступления, вычислить следующие характеристики вариационного ряда: объем совокупности, относительные частоты, среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, максимальное и минимальное значение ряда, вариационный размах.
Таблица 1.
|
Возраст в годах, X | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 28 | 30 | |
Число осужденных, m | 3 | 5 | 8 | 10 | 8 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 4 | 2 | 1 | |
|
Решение.
Объем совокупности равен 61, максимальная величина - 30, минимальная - 16, вариационный размах: 30 - 16 = 14.
При нахождении остальных характеристик, результаты вычислений будем заносить в таблицу 2. Чтобы найти относительную частоту, делят частоту данной варианты (графа 1) на объем совокупности, т.е. на . Результаты заносим в графу 3. Сумма относительных частот равна 1.
Таблица 2.
|
x | m | Относительные частоты | Среднее значение, | k | Дисперсия | |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
16 | 3 | 0,04918 | 0,786885 | 0,234614 | 1,119226 | |
17 | 5 | 0,081967 | 1,393443 | 0,309057 | 1,165296 | |
18 | 8 | 0,131148 | 2,360656 | 0,363343 | 1,006639 | |
19 | 10 | 0,163934 | 3,114754 | 0,290245 | 0,513876 | |
20 | 8 | 0,131148 | 2,622951 | 0,101048 | 0,077857 | |
21 | 6 | 0,098361 | 2,065574 | 0,022575 | 0,005181 | |
22 | 5 | 0,081967 | 1,803279 | 0,100779 | 0,123909 | |
23 | 4 | 0,065574 | 1,508197 | 0,146197 | 0,325948 | |
24 | 3 | 0,04918 | 1,180328 | 0,158828 | 0,512937 | |
25 | 2 | 0,032787 | 0,819672 | 0,138672 | 0,586516 | |
26 | 4 | 0,065574 | 1,704918 | 0,342919 | 1,793295 | |
28 | 2 | 0,032787 | 0,918033 | 0,237033 | 1,713632 | |
30 | 1 | 0,016393 | 0,491803 | 0,151303 | 1,396456 | |
У | 61 | 1 | 20,7705 | 2,59661 | 10,34077 | |
|
Дисперсию находим по формуле . Для этого в графу 6 заносим квадраты разностей отклонений, умноженные на соответствующие частоты и поделенные на объем совокупности. (Разность графы 1 и среднего значения возводим в квадрат, умножаем на графу 2 и делим на 61). Например, первая строка: . Затем суммируем по столбцу и получаем значение дисперсии: .
Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии, у нас .
Коэффициент вариации найдем по формуле: . В графу 5 будем заносить результаты деления на объем совокупности абсолютной величины отклонения, умноженную на соответствующую частоту. (Абсолютную величину разности графы 1 и среднего значения умножаем на графу 2 и делим на 61).Например, первая строка: .
Получили
Ответ. Объем совокупности равен 61, максимальная величина - 30, минимальная - 16,
вариационный размах - 14, относительные частоты - графа 3 таблицы 2, дисперсия ,
среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации .
