Задача Дирихле для уравнения Пуассона

Задача Дирихле для уравнения Пуассона
 Многие задачи физики и механики сводятся к уравнению в частных производных с заданными значениями функции на границе расчётной области (изгиб мембраны,  стационарного распределения температуры в конструкциях, кручения стержня произвольного сечения и т.д.)             

(1)

Если область прямоугольная, то задавая число точек по координатам  =  и , получаем соответствующую сетку с шагами  по направлению ,  по направлению .
Аппроксимируя вторые производные:
Получаем
Выделяем диагональный член и задаём следующую итерационную схему:
Задача реализована следующей программой на  Qbasic 4.5
 
5 CLS
10 N1 = 8: N2 = 6: DL1 = 1.0: DL2 = 1.0
20 DIM U(N1, N2): G = 10: S = 40: C = -400
30 H1 = DL1 / N1: H2 = DL2 / N2
40 FOR I = 0 TO N1
50 X = H1 * I
60 FOR J = 0 TO N2
70 Y = H2 * J
75 U(I, J) = 0
80 IF ((I = 0)OR(I = N1)) THEN U(I,J)=4*G*Y*(DL2-Y)/DL2
90 IF ((J = 0)OR(J = N2)) THEN U(I,J)=4*S*X*(DL1-X)/DL1
100 NEXT J: NEXT I
110 K = 0
120 Z = 0
130 FOR I = 1 TO N1 - 1
140 FOR J = 1 TO N2 - 1
150 R = U(I, J)
160 P = (U(I - 1, J) + U(I + 1, J)) / H1 / H1
161 P = P + (U(I, J - 1) + U(I, J + 1)) / H2 / H2 - C
162 U(I, J) = P / (2 / H1 / H1 + 2 / H2 / H2)
170 Z = Z + ABS(U(I, J) - R): NEXT J: NEXT I
180 K = K + 1
190 IF ((Z > .001) AND (K < 100)) THEN 120
200 PRINT "  k = ", K
210 FOR J = 0 TO N2
220 FOR I = 0 TO N1: PRINT " ", U(I, J); : NEXT I
221 PRINT
230 NEXT J
240 END
 
Результаты вычислений:
 
  k =          62
 0        17.5     30       37.5     40       37.5     30       17.5     0
 5.5555   23.055   35.5554 43.0554 45.5554 43.0554 35.5554 23.0555  5.5555
 8.8888   26.3887  38.8887  46.3886  48.8886  46.3887  38.8887  26.3888  8.8888
10        27.4998  39.9998  47.4997  49.9997  47.4998  39.9998  27.4999 10
 8.8888   26.3888  38.8887  46.3887  48.8887  46.3887  38.8887  26.3888  8.8888
 5.5555   23.0555  35.5554  43.0554  45.5554  43.0554  35.5555  23.0555  5.5555
 0        17.5     30       37.5     40       37.5     30       17.5     0