Уравнение равновесия. Проекция скорости точки

13

Задача 1

Груз силой тяжести G=350 Н удерживается тросом, перекинутым через блок А, ось которого укреплена на стержнях АВ и АС. Определить силы реакции в стержнях, если углы на рис.8.1 равны, соответственно: б=60є, в=15є, г=30є. Рисунок не выдержан в масштабе.

Дано:

G=350 Н

б=60є

в=15є

г=30

RA, RB - ?

T=G, т.к. трение в блоке отсутствует

Запишем уравнение равновесия для стержней. В качестве объекта равновесия примем точку А. Изобразим действующие на нее силы.

УFx=0

Tsin30-RCsin60-RBsin75=0

УFy=0

G+Tcos30-RBcos75-RCcos60=0

Получили два уравнения с двумя неизвестными. Для упрощения процесса решения подставим числовее значения известных величин.

350sin30-RСsin60-RBsin75=-175-0,866RС-0.966RB=0

49,6-0,259RB-0.5 (-202,1-1,1RB) =51,9+0,291RB=0

RB=-51,9/0.291=-178,35 Н

RC=-202,1-1,1 (-178,35) =-5,92 Н

Знак "-" указывает на то, что силы направлены в сторону противоположную указанной на схеме.

Ответ: RB=-178,35 Н

RC=-5,92 Н

Задача 2

По заданному графику проекции скорости точки, движущейся прямолинейно, построить графики ее перемещения и ускорения. Какой путь прошла точка? На каком максимальном расстоянии от исходного положения она находилась в процессе движения? На каком расстоянии от исходного положения она находится в конце движения?

Для построения графиков перемещения и ускорения необходимо записать уравнения скорости на каждом участке представленного графика.

Участок 1. t от 0 до 10 с

V1=const=10 м/с

Участок 2. t от 10 до 20 с

V2=2t-10

Участок 3. t от 20 до 30 с

V3=const=30 м/с

Участок 4. t от 30 до 40 с

V4=120-3t м/с

Для построения графиков перемещений проинтегрируем уравнения полученные выше

Найдем константу С. S (0) =0=10·0+C > C=0, S1=10t

S1 (10) =10·10=100

S2 (10) =102-10·10+C > C=100

S2 (20) =202-20·10+100=300

S3 (20) =20·30+C=300 > C=-300

S3 (30) =30·30-300=600

S4 (30) =120·3-302+C=600 > C=-1590

Для построения графиков ускорений продифференцируем уравнения скоростей на разных участках

a1=

a2=2 м/с2

a3=0

a4=-3 м/с2

График зависимости перемещения от времени м/с2

График зависимости ускорения от времени

Путь пройденный точкой численно равен площади под графиком зависимости скорости от времени

S=10·10+ (10·10+0,5·10·20) +10·30+0,5·10·30=750 v

В данном случае максимальное расстояние от исходного положения составит 750 м, точка в конце движения будет находится также на расстоянии 750 м.

Задача 8.3 В механизме качающегося грохота (рис.8.3) определить угловую скорость кривошипа О2В=3r и скорость ползуна D при вертикальном положении кривошипа O1A, если АВ=CD=2r. Отношение BC/CO2=3/5, угловая скорость кривошипа О1А равна щ=6 рад/с, углы б=60є, в=45є. Длина кривошипа O1A равна r=0.1м.

Дано:

O1A=r=0,1 м

AB=CD=2r=0,2 м

O2B=3r=0,3 м

щOA1=6 рад/с

б=60є

в=45є

щO2B, VD - ?

Построим положение механизма в соответствии с данными условиями задачи.

Для определения необходимых нам скоростей необходимо провести ряд промежуточных вычислений.

Определим скорость VA

VA=щO1A·r/2=6·0,1=0,6 м. с (VA+O1A)

Скорость VA определяем с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую соединяющую эти точки (прямая АВ).

VA=VBcos30 > VB=0.6/cos30=0,69 м/c2

Построим мгновенный центр скоростей (МЦС) - точка лежащая на пересечении перпендикуляров к векторам VA и VB

щO2B= рад/с

Определяем VD. Точка D принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно и стержню CD. Поэтому чтобы найти ее скорость достаточно знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление VD.

Величину VC найдем из пропорции

VC= (VC+СМЦС)

Скорость VD определяем с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела (стержня CD) на прямую соединяющую эти точки (прямая CD).

VDcos45=VCcos15 > VD=0,5·cos15/cos45=0,68 м/c2

Ответ: щO2B= рад/с; VD=0,68 м/c2

Задача 3

Доска длиной l=6м, свободно положенная на две разновысокие опоры А и В, получив начальную скорость v0=0.5м/с, соскальзывает с опор вниз. Упадет ли доска с них, если коэффициент трения между доской и опорами f=0.6, а размеры на рис.8.4: a=0.3l, b=0.5l, h=0.14l.

Дано:

l=6м

v0=0.5м/с

f=0.6

a=0.3l

b=0.5l

h=0.14l

s - ?

Запишем сразу уравнение равновесия для доски находящейся в покое

УFx=0-FтрА+Qcosб-FтрB=0

FтрА=FтрВ=f·N=f·Qsinб (Ra=Rb=N)

отсюда

Qcosб-2f·Qsinб=0

Запишем 3-й закон Ньютона для доски начавшей движение

m=mg (cosб-2fsinб)

=g (cosб-2fsinб)

Проинтегрируем полученное уравнение

=Vx=g (cosб-2fsinб) t+C1

x=g (cosб-2fsinб) t+C1t+C2

Найдем неизвестные cosб и sinб

sin2б+cos2б=1

Найдем постоянные С1 и С2

При t=0 Vx (0) =0.5 м/с > С1=0,5

При t=0 x (0) =0 > С2=0

Окончательно уравнение движения доски примет вид

V=9.8 (0.28-2·0.6·0.96) t+0,5=-8,55t+0,5

x=-4.27t2+0.5t

Найдем время, когда доска остановится

V=0 > t=0.5/8.55=0.06 c

Путь пройденный доской за это время

x=-4.27·0.062+0.5·0.06=0.015 м

Для того чтобы доска упала она должна пройти путь равный длине его верхней части а=0,3·6=1,8 м. В нашем случае это не происходит, следовательно доска не упадет.

Задача 4

На однородной балке массой m=3т (рис.8.5) установлена лебедка силой тяжести G=25кН, поднимающая на тросе, наматывающемся на барабан d=0.1l, груз силой тяжести Q=12кН с ускорением а=3м/с2. Определить нагрузки на опоры А и В, если b=0.4l, c=0.2l. Массу троса не учитывать.

Дано:

m=3т

G=25кН

d=0.1l

Q=12кН

а=3м/с2

b=0.4l

c=0.2l

RA, RB - ?

Запишем уравнения равновесия

УFx=0 RAx=0

УFy=0 RAy-G-Q--Mg+RBy=0

УMA=0 -Gb-Qz-

где

Получили два уравнения с двумя неизвестными, найдем искомые реакции

RBy= кН

RAy=G+Q+25+12+3.67-23=17,67 кН

Ответ: RBy=23 кН, RAy=17,67 кН