Спектральные характеристики
Спектральные характеристики
Демидов Р.А.,
ФТФ,
2105
ВведениеВ первой части работы я поставил себе цель описать линейные операторы в целом, а также подробно рассказать о важной характеристике спектра операторов - спектральном радиусе.В этой части работы я подробнее остановлюсь на не менее важной характеристике спектров - резольвенте, и расскажу о связи этой характеристики с подвидами спектра оператора - с остаточным, точечным и непрерывными его частями. Вначале, опять же, необходимо остановиться на некоторых основных определениях и понятиях теории линейных операторов. Итак:
- Пусть A - оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E. Спектром оператора называется множество всех его собственных значений.
- Квадратную матрицу n?n можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины. В таком случае говорят о спектре матрицы.
- Пусть A - оператор, действующий в банаховом пространстве E над полем k. Число ? называется регулярным для оператора A, если оператор R(?) = (A ? ?I)-1, называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен.
- Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества - спектром этого оператора.
- Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через r(A). При этом выполняется равенство:
Это равенство может быть принято за определение спектрального радиуса,приусловии существования данного предела.
Теперь рассмотрим состав самого спектра. Он неоднороден, и состоит из следующих частей:
- дискретный (точечный) спектр - множество всех собственных значений оператора A - только точечный спектр присутствует в конечномерном случае;
- непрерывный спектр - множество значений ?, при которых резольвента (A - ?I)-1 определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной;
- остаточный спектр - множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части.
Таким образом, мы видим, что спектр оператора состоит из 3-х больших частей, принципиально различных.
Свойства резольвентыТеорема 1: ограничен. Тогда является регулярной точкой.
Доказательство. . Пусть. Тогда . - банахово, , причем он ограничен: Резольвента существует и ограничена. Чтд.
Теорема 2: не принадлежит точечному спектру осуществляет биекцию на .
Доказательство.р Если построена биекция, то не существует , за исключением тривиальной. р Если - точка точечного спектра, то , что противоречит биективности .
Теорема 3: (Тождество Гильберта) Доказательство.,,,верно => Чтд.
Следствия: 1) - коммутативность резольвенты.2) (т.к. непрерывна по в точке ), т.е. она бесконечно дифференцируема (аналитическая функция). Итак, - аналитическая оператор-функция на множестве регулярных точек (резольвентном множестве). - разложение в ряд Лорана (имеет место при , но, возможно, и в большей области).
Упражнение: (Примеры вычисления спектрального радиуса) ,.Возьмем.Тогда Таким образом . Эта оценка достижима при , т.е. ,и
rc(A)=1.
Теорема 4: всякая к.ч , есть регулярная точка самосопряженного оператора A.
Доказательство.] регулярная точка, значит не собственное значение и . Проверим ограниченность . ограничен, и его можно распространить на с сохранением нормы оператора, так как не собственое значение. Если при этом не замкнуто, то не замкнут. При этом линейный оператор, обратный к замкнутому, а также сопряженный к нему, замкнут => самосопряженный оператор замкнут.
Спектральная теория в электроникеПолезнейшим приложением спектральной теории в физике является теория спектров электрических сигналов. Суть теории состоит в том, что любой сигнал на входе линейной цепи возможно представить совокупностью гармонических колебаний, или тестовых сигналов, заданной частоты, вопрос такого разложения состоит в нахождении амплитуд результирующих колебаний. Последние вычисляются определенным образом.Классическое преобразование Фурье представляет из себя линейный оператор.Спектральная теория здесь работает следующим образом - для периодических входных сигналов для нахождения соответствующих амплитуд используется интегральное преобразование - дискретный Фурье- образ: в котором разложение начинается с частоты следования wк. В данном случае очевидно, что, раз выходной сигнал представляется суммой бесконечного ряда, то мы имеем дело с
точечным спектром сигнала, поскольку он дискретен. Следовательно, любое периодическое колебание можно рассматривать как сигнал с дискретным спектром, поскольку
непрерывным спектром он не обладает. Однако, если же взять непериодический сигнал, например, единичный прямоугольный импульс, то вводится понятия прямого
и обратного преобразований Фурье: ,где S(w) -
спектральная плотность сигнала s(t).Соответственно, S(w) - непрерывная по w функция, и в данном.
ЗаключениеВ работе не ставилась цель охватить весь курс спектральной теории и спектрвльных характеристик, а ставилась цель изучить основные спектральные характеристики линейных операторов, и обрисовать применение этих понятий. Опять же, класс Фурье преобразований включает в себя намного больший объем, чем тот, о котором упомянуто в работе, они используются в теории алгоритмов при кодировке и сжатии информации в цифровом формате изображений JPEG, в вейвлет - преобразованиях. Новое поколение функциональной электроники содержит на элементарном уровне элементы, способные производить непрерывные преобразования Фурье и Лапласа, что намного ускоряет работу электронных устройств.В общем и целом, наряду с первой частью работа дает представление о б основных спектральных характеристиках линейных операторов и их применении в различных областях математики, информатики и физики.
Список литературы1. Лекции по математической физике, Попов И.Ю., СПбГУ ИТМО, кафедра высшей математики.2. Элементы теории функций и функционального анализа, А.Н. Колмогоров и С.В. Фомин.3. Теория цепей и сигналов, Новиков Ю.Н.4. Свободная энциклопедия Википедия.5. Сжатие данных, изображения и звука, Д. Сэломон.