Составление уравнений равновесия и расчет действующих сил
Задача С 1
Жестяная рама закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена к шарнирной опоре на катках. На раму действуют пара сил с моментом М = 100H*м и две силы F1 = 10H под углом 30 к горизонтальной оси, приложенная к точке K, и F4=40H под углом 60 к горизонтальной оси, приложенная к точке H.
Определить реакции связей в точках A и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять l = 0,5 м
2 l l
Дано: XA F4' X
М = 100 Н * м A H
F 1 = 10 Н F4'' F4 F1'' F1 l
? 1= 30 K
F 4 = 40 HF1'
L = 0,5 м М 3l
? 4 = 60 2l
RB
XА, YА, RB Д
Рис. С 1.0.
Решение:
Рассмотрим равновесие рамы. Проведем координатные оси XY (начало координат в точке А). На раму действуют следующие силы: 1 и 4, пара сил моментом М и реакция связи A, A, B (реакция неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).
Составляем три уравнения равновесия:
1) ? FKX=0; XA+F4*co? 60 + F1*co? 30 =0
2) ? FKY=0; YA-F4*?in 60 + F1* ?in 30 +RB=0
3) ? MA (FK)=0; -F4*?in 60 *2l+ F1* ?in 30 *3l+F1* co? 30 *l-M+RB*5l=0
Из уравнений (1) находим XA:
XA= -F4* co? 60 -F1* co? 30 = -40*0,5-10*0,866= -28,66H
Из уравнения (3) находим RB:
RB==
==
=49,12H
Из уравнения (2) находим YA:
YA=
Проверка:
р все силы реакции найдены правильно:
Ответ:
Задача С 2
Однородная прямоугольная плита весом P=5kH со стороны АВ=3l, ВС=2l закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС! На плиту действуют пара сил с моментом М=6лН*м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения Н, ?1=90с, Д, ?2=30с; при этом силы и лежат в плоскостях, параллельных плоскости xy, сила - в плоскости, параллельной xz, сила - в плоскости параллельной yz. Точки приложения Д и Н находятся в серединах сторон плиты. Определить реакции связей в(.) А и В, С. При окончательных расчетах принять l=0,5м.
С1
Z
Дано:
Y
Рис С 2.0.
Решение:
1) Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют заданные силы: пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на 3 составляющие: цилиндрического шарнира (подшипника) - на две составляющие: (в плоскости перпендикулярной оси подшипника), реакцию стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут (рис. С 2.0.)
2) Для определения составляем равновесия, действующей на плиту пространственной системы сил:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Из уравнения (4) находим N:
Из уравнения (5) находим ZB:
Из уравнения (1) находим XA:
Из уравнения (6) находим YB^
Из уравнения (2) находим YA:
Из уравнения (3) находим ZA:
Ответ:
XA= -1,67kH
YA= -29,11kH
ZA= -0,10kH
YB=25,11kH
ZB=2,60kH
N= -5,39kH
Знаки указывают, что силы направлены противоположно показанным на рис. С 2.0.
Задача К1
Дано:
Три движения точки на плоскости
Найти:
- уравнение траектории точки
для момента времени
y
B
x
Рис. К 1.0.
Решение:
1) Для определения уравнения траектории исключим из заданных уравнений движения время t:
(1)
Преобразуя систему (1), получим:
(2)
Поскольку время е входит в аргументы тригометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу: то есть:
Итак, получаем:
(3)
Преобразуя систему (3), получим:
(4)
Преобразуем:
Упрощая выражение, получим:
(5)
Выражение (5) - это уравнение траектории точки. График - парабола с вершиной в точке (0;11) на рис. К.1.0 а
2) Скорость точки найдем по ее траектории на координатной оси:
см/с
y
(0;11)
y=-0,375x2+11
(-5,4;0) (5,4;0)
x
Рис. К 1.0 а
При t=1 сек, находим
При t=t1=1 сек, находим
Находим скорость точки:
3) Аналогично найдем уравнение точки:
При t=t1=1 сек, находим
При t=t1=1 сек, находим:
Находим ускорение точки:
Найдем касательное ускорение, дифференцируя по времени равенства:
Учитывая найденные значения при t= 1 сек, получим:
5)Нормальное ускорение определяется по формуле:
6)Радиус кривизны траектории определяется по формуле:
Ответ:
a1=1,73 см/с2
aT=1,07 см/с2
an=1,36 cм/c2
=7,53 см
Задача К2
Дано:
l1=0,4 м
l2=1,2 м
l3=1,4 м
l4=0,8 м
=60
=60
=60
=90
=120
4=3с-2
=10с-2
Найти:
-?
2
O1
4
O2
Рис. К2.0.
Решение:
1) Строим положение данного механизма в соответствии с заданными узлами (рис К2.0)
2) Определяем скорость точки по формуле:
Точка одновременно принадлежит стержню . Зная и направление воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая )
Точка В одновременно принадлежит к стержню 3 те к стержню АВ. При помощи теоремы о проекциях скоростей определяем скорость точки А:
Для определения скорости точки D стержня АВ построим мгновенный центр скоростей для звенья АВ (рис. К 2.0)
Определяем угловую скорость звенья 3 по формуле:
Из треугольника АС3В при помощи теоремы синусов определяем С3В:
Т.О., угловая скорость стержня 3 равна:
Скорость точки D стержня АВ определяется по формуле:
С3D определяем при помощи теоремы синусов:
Итак: =
Определяем ускорение точки А.
Т.к., угловая ускорение известно, то
Найдем нормальное ускорение точки А определяем по формуле:
Ускорение точки А плоского механизма определяется по формуле:
Ответ:
Задача Д1
Дано:
m=2 кг
Найти:
x=f(t) - закон движения груза на участке ВС
А
C В
D
x 30
Рис. D 1.0.
Решение:
1) Рассмотрим движение груза D на участке АВ, считая груз материальной точкой.
Изображаем груз (в произвольном положении) и действующее на него силы:
. Проводим ось AZ в сторону движения и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:
(1)
(2)
Далее, находим:
(3)
Учитывая выражение (3) в (2) получим:
(4)
(5)
Принимая g=10ми/с2 получим:
Интегрируем:
Начальные условия:
При t=0;
или
ln(7-0,2*)= C1
При t=t1=2,5сек, , получим:
2) Теперь рассмотрим движение груза на участке ВС, найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью
Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы:
(рис. D1.0)
Проведем из точки В ось BX и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:
(6)
Т.к., то уравнение (6) примет вид:
(7)
Разделив обе части равенства на m=2 кг, получим
(8)
(9)
Умножим обе части уравнения (9) на и проинтегрируя, получим:
Учитывая начальные условия:
При
Т.о.,
Умножим обе части равенства на dt и снова интегрируем, получим:
Начальные условия: при
Итак:
Ответ:
Это закон движения груза D в изогнутой трубе АВС.
