Сопромат
18
Задача № 1Тема: Расчет на прочность статически определимых систем при растяжении и сжатииТребуется: 1. Построить эпюру продольного усилия Ni 2. По условию прочности подобрать размер поперечного сечение «а», если =160 МПа3. Для рассчитанного размера поперечного сечения построить эпюру нормальных напряжений 4. Построить эпюру осевых перемещений W и найти наибольшую величину относительных деформаций , если 5. Определить потенциальную энергию упругих деформаций UДано: 7
Р1 = 50
кН; l1 = 3
м ;
Oa 2a
Р2 =65
кН; l2 = 2
м ;
O2a a 2aР3 =40
кН; l3 = 3
м ;
a Р4 =10
кН; l4 = 1
м ; D C B A Формы сечения: Ra P4 P3 P2 P1
А1 № 11 А3 № 4А2 № 9 А4 № 7 IV III II I
l 1 l2 l3 l4Ni = ? ; = ? ; = ?; N1 P1 = ? ; “
a” = ? ; 45 55 15 + Эп.N (kH) - 16 50 3,69 2 + Эп.?(МПа) - 13 1,99 2,986 3,534 6,9 0 Эп.?
l(мм) +Решение: Определяется сила реакции опор RА из уравнения статики: Делим на 4 участка, обозначая их римскими цифрами (I, II, III, IV), а также характерные сечения через заглавные буквы (А, В, С, D, Е). Определяется продольная сила на каждом участке методом сечения: Строится эпюра продольных сил Ni Определяется площадь поперечных сечений на каждом участке А1=а*а=а2А2=2а*а=2а2А3=2а*2а=4а2Определяется нормальное напряжение на каждом участке через 1/а2 Определяется максимальное значение нормального напряжения, не превышающее допускаемого напряжения, равное 160 МПа: Максимальное значение напряжения на третьем участке Находится значение «а»: Принимается а = 19,4ммОпределяются действительные значения площадей поперечных сечений: Определяются истинные значения нормального напряжения на каждом участке: 10. Строится эпюра нормального напряжения 11. Определяется относительная продольная деформация на каждом участке: , где Е = 2 105МПа 12. Определяется относительная продольная деформация по сечениям: 13. Определяется относительное удлинение и строится эпюра этих значений (Рис 1д): Определяется максимальное значение относительного удлинения: 14. Определяется удельная потенциальная энергия15. Определяется полная удельная потенциальная энергия16. Определяется относительная погрешность нормального напряжения:
Задача №2Тема: Расчет на прочность статически неопределимых систем при сжатии и растяженииДано: Схема брусаРазмеры и нагрузкиМатериал брусьев - сталь 3Допускаемое напряжение Модуль продольной упругости Требуется:Определить допускаемую нагрузку для ступенчатого бруса
Дано:
l =
30 см = 0,3 м = 300 ммА = 10 см2 = К = 0,15[Р] = ? Эп. N (kH) Эп. ? (kH) Эп. l (мм) Ra + - + - + - A A1.5l 3A I 255 53
0,02 B 2A II
133 В l 0,047 C C 425 С1.5l 4P 4A III 66,4
0,066 D D l A IV 255 159
E 0,035 E ? ReРешение: Составляется уравнение статикиСоставляется уравнение совместности деформации УСД: - от заданных сил - УСД (1) Определяются продольные силы на каждом участке: =? когда нет REНаходим относительное удлинение на каждом участкеОпределяется - относительное удлинение силы реакции опор, когда нет сил Р и 2Р: Подставляем значения и в уравнение (1) Подставляем значение силы в уравнение статики Определяем значения продольных сил, подставляя значения Определяется значение нормального напряжения на каждом участке Находим максимальное значение нормально напряжения Принимаем Р = 170 кНОпределяются действительные значения продольных сил: 10. Определяются истинные значения нормального напряжения на каждом участке : Находим относительное удлинение Находим относительное удлинение по сечениям Определяем относительное удлинение По заданной формуле вычисляем значение зазора , оно должно соответствовать значению ПроверкаЗадача № 3Тема: Расчет на прочность статически неопределимых систем при растяжении и сжатии. Требуется: Найти усиление и напряжение в стержнях, выразив через силу Р1Определить допускаемую нагрузку [Р], если [?] = 160 МПаНайти предельную нагрузку Рпр, если [?1] = 240 МПа и h1 = 1,5Сравнить величины допускаемых нагрузок Рпр и Р, для чего найти их отношения. Дано: А=14см2 = 14·10 - 4ма=2,3мв=2,7смс=1,7см [?] =160 МПа hТ = 1,5Найти: Р=?, РТ =?, [РТ] =? Решение. 1. Составляется уравнение статики для стержневой системы 1. ? Мi = 0; ?1?a-P(a+c) +N2cos 45?b =02. ? Zi =0; Z0 +?2? cos45 = 03. ? Yi =0; Y0 + ?1- P - N2?cos 45 = 0В три уравнения равновесия входят четыре неизвестные силы, и, следовательно, задача является статически неопределимой. Для составления уравнения рассмотрим деформацию конструкции. 2. Рассмотрим подобие двух треугольников ; Рассмотрим для нахождения деформации системы. OB=b OA=a y0 N1
В N2 Р P
B1 ?l1 B2 O A B A1 ?l2 3. Подставляем в уравнение моментов и выражаем их через Р 4. Находим значения нормальных напряжений ?1, ?2 ?1 = ?1 = Принимаем 5. Находим действительные значения Ni 6. Находим действительные значения ?i ?1 = =678,57=160МПа?2 = =339,29=79,7МПа7. Определяем предельную нагрузку Pпр, исходя из условия равновесия ? Мi = 0; ?1?а- Р?(a+c) + N2cos 45?b =0, где N1 = ?т ? А, и N2 = ?т ? 2А; ?т=240МПа8. Находим предельно допускаемую нагрузкуЗадача № 4Тема: Расчет статически определимых брусьев на прочность и жесткость при кручении. Дано: Схема бруса. Размеры нагрузки. Требуется: Рассчитать брус на прочность и жесткостьПостроить эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов поворота. Дано: m1 = 400 Н•мm2 = 1200 Н•мm3 = 2400 Н•мm4 = 400 Н•мm5 = m5 Н•м[?] = 40 МПа[?] = 0,5 d = 0,5 d1 = 1.5b d2 = 2b d3 = 2.5b a = 0.3 мНайти: Т, ?, ? - ? Решение. Составим уравнение статики: ? Мi = 0m1 - m2 - m3 + m4 + m5 = 0m5 = - m1 + m2 + m3 - m4 = - 400 + 1200 + 2400 - 400 = 2800 H?мT1 = + m1 = 400 H?мT2 = m1 - m2 = 400 - 1200 = - 800 H?мT3 = m1 - m2 - m3 = - 800 - 2400 = - 3200 H?мT4 = m1 - m2 - m3 = - 800 - 2400 = - 3200 H?мT5 = m1 - m2 - m3 + m4 = - 2800 H?мT6 = m1 - m2 - m3 + m4 + m5 = 0 H?мОпределяем полярный момент сопротивления на каждом участке Wpi: Определяется касательное напряжение на каждом участке по формуле , выражая каждое значение через 1/b3 Определяем максимальное значение касательного напряжения из пяти значений: ?max = max {?1, ?2, ?3, ?4, ?5} ? [?] ; ?3 ? [?] Определяется полярный момент инерции по данной формуле на каждом участке: 5. Определяем относительный угол закручивания по формуле Определяем максимальное значение: Примем максимальное значение из полученных значений b: b? = b1 = 54,3 мм = 54,3·10 - 3 м = 55мм6. Определяем действительные значения касательного напряжения ?i: Определяем действительные значения относительного угла закручивания ?i: Определяем по формуле значение перемещения Находим числовые значения перемещения ??i по сечениям: ?А = 0?В = ?А + ?1 = 0 + 0,000176053 = 0,000176053 рад; ?С = ?В + ?2 = 0,000176053 + 0,000149169 = 0,000325222 рад; ?D = ?С + ?3 = 0,000325222 + 0,000168185 = 0,000493407 рад; ?Е = ?D + ?4 = 0,000493407 + 0,000168185 = 0,000661592 рад; ?F = ?Е + ?5 = 0,000661592 + 0,003477358 = 0,00413895 рад; ?G = ?F + ?6 = 0,00413895 + 0= 0,00413895 рад.