Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях

4

Министерство образования и науки Украины

Донбасская государственная машиностроительная академия

Кафедра электротехники и электрооборудования

Расчетно-графическая работа

Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях

Выполнил:

Проверил:

Краматорск

Задание

В заданных вариантах необходимо: для каждой цепи рассчитать токи и напряжения во время переходного процесса вызванного коммутацией - определить их аналитические выражения и построить временные графики i (t), u (t). Задачи решить классическим и операторным методами.

Задача №1

U0=1000 В

R1=120 Ом

R2=50 Ом

R3=10 Ом

L=0.4 Гн

Рис. 1.

Решение задачи классическим методом

Составим уравнения по 1-му и 2-му законам Кирхгофа в дифференциальной форме для послекоммутационного режима.

Составленную систему уравнений называют математической моделью динамического режима работы цепи.

Токи и напряжения до коммутации:

Принужденные составляющие токов и напряжения

Определим полные значения токов и напряжений в первый момент после коммутации. На основании первого закона коммутации:

Свободные составляющие токов и напряжений в первый момент после коммутации.

Составляем характеристическое уравнение и определяем показатель затухания:

Постоянная времени переходного процесса

7. Выражения для свободных токов и напряжений:

8. Определяем постоянные интегрирования:

9. Свободные токи и напряжения:

10. Полные токи и напряжения во время переходного процесса

11. Построим графики токов и напряжений во время переходного процесса:

График тока i1

График тока i2

График тока i3

График напряжения на индуктивности ul

Решение задачи операторным методом

Рис.2.

Представим схему замещения цепи в операторной форме (рис.2) для после коммутационного режима.

Для расчета токов и напряжения U1в операторной форме используем метод непосредственного применения законов Кирхгофа. Составим уравнения по 1-му и 2-му законам Кирхгофа в операторной форме:

Так как напряжение на индуктивности до коммутации было равно нулю, внутренняя ЭДС также равна нулю, в дальнейших расчетах ее не учитываем.

Из второго уравнения:

Из третьего уравнения:

Значения I2 (р) и I3 (р) подставим в первое уравнение:

Выражение для тока первой ветви в операторной форме:

Выражение для I1 (р) получено в виде дроби, числитель и знаменатель которой полиномы.

N (p) =150000 + 400р - полином числителя, где

М (р) = 23000р + 68p2 - полином знаменателя

Определяем корни полинома знаменателя:

23000p + 68 p2 = p (23000 + 68 p)

p1=0; p2=

Для перевода тока I2 (р) из области изображений в область временных функций применяем формулу

где N (р1) и N (р2) - соответственно значения полиномов числителя при корнях р1 и р2 М' (р1) и М' (р2) - значения производной от полинома знаменателя соответственно при корнях р1 и р2. Полиномы числителя при корнях р1 и р2:

N (р1) = 150000; N (р2) = 14706

Производная от полинома знаменателя:

М (р) = 23000 + 136p

Производная от полинома знаменателя при корнях р1 и р2.

м' (р1) = 23000; М' (р2) = - 23000;

Ток i1 во время переходного процесса:

Остальные токи и напряжения определим используя законы Ома и Кирхгофа

При расчете операторным методом получены те же выражения для токов и напряжения как и при расчете классическим методом, что подтверждает правильность выполненного расчета переходного процесса.

Задача №2

U0=160 B

R=80 Oм

L=0.8 Гн

С=20*10-6 Ф

Рис 3.

Необходимо найти закон изменения токов во всех ветвях и напряжений UL и UC в зависимости от времени и построить графики.

Решение задачи классическим методом

Математическая модель динамического режима работы цепи для послекоммутационного режима:

Решая данную систему дифференциальных уравнений, можно получить закон изменения токов и напряжений во времени в момент переходного процесса, не используя специальных методов. Доя упрощения решения системы воспользуемся классическим методом.

1. Токи и напряжения до коммутации.

2. Принужденные значения токов и напряжений

3. Полные значения токов и напряжений в первый момент после коммутации:

3. Свободные значения токов и напряжений в первый момент после коммутации:

Определим производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно после коммутации, для чего составим систему уравнений, используя законы Кирхгофа.

Производные от тока на индуктивности и напряжения на емкости:

Отсюда

Все полученные результаты занесем в таблицу:

	i1	i2	i3	UL	uс
t = 0 +	1	0	1	80	0
t=?	1	1	0	0	80
Iсв (0+)	0	-1	1
Uсв (0+)				80	-80
I'св (0+)	100	625
U'св (0+)				-58000	50000

Составим характеристическое уравнение (для послекоммутационного режима) и определим его корни:

Подставим численные значения параметров цепи:

Решив квадратное уравнение получаем:

р1 = - 282.461

р2 = - 442.539

7. Определим постоянные интегрирования А1 и А2, и запишем выражения для токов и напряжений а) Для тока i1св: