Расчет частотных и переходных характеристик линейных цепей

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. А.Н. Туполева

Кафедра радиоэлектроники и информационно-измерительной техники

РАСЧЕТ ЧАСТОТНЫХ И ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу «Электротехника и электроника»

Студент группы 5210 Галеев Р.В.

Казань 2010

Содержание:

Введение

Сведения из теории

Анализ частотных характеристик

Анализ переходных характеристик

Расчет частотных характеристик электрической цепи

Расчет линейной цепи при импульсном воздействии

Вывод

Список литературы

Введение

Основная цель курсовой работы - систематизация, закрепление и углубление теоретических знаний, а также приобретение практических навыков аналитического расчета и экспериментального измерения основных характеристик электрических цепей.

Работа по курсу «Электротехника и электроника» посвящена расчету частотных (входных и передаточных) и переходных характеристик электрической цепи.

Анализ частотных характеристик осуществляется частотным методом, при котором электрическая цепь задается своими частотными характеристиками (АЧХ и ФЧХ), которые в большинстве практических случаев могут быть просто измерены или рассчитаны. Частотный метод анализа включает в себя задачу частотного или спектрального представления воздействия в виде суммы гармонических составляющих с определенными амплитудами, начальными фазами и частотами, а также задачу определения реакций цепи на каждую гармоническую составляющую воздействия и их суммирование.

Для анализа переходных характеристик электрических цепей существует ряд аналитических методов: классический, операторный, метод Дюамеля. В данной работе использовался операторный метод, основанный на использовании прямого и обратного преобразования Лапласа, и связан с решением алгебраический уравнений относительно изображения.

Сведения из теории

В зависимости от числа выводов (полюсов) все цепи подразделяются на двухполюсники, четырехполюсники и многополюсники.

Часть электрической цепи, рассматриваемая по отношению к любым двум парам ее выводов, называется четырехполюсником.

Четырехполюсники могут быть классифицированы по различным признакам. По признаку линейности элементов, входящих в них, четырехполюсники разделяются на линейные и нелинейные. Также четырехполюсники бывают активными и пассивными. Четырехполюсник называется активным, если он содержит внутри источники электрической энергии. При этом если эти источники являются независимыми, то в случае линейного четырехполюсника обязательным дополнительным условием активности четырехполюсника является наличие на одной или обеих парах его разомкнутых выводов напряжения, обусловленного источниками электрической энергии, находящимися внутри него, т.е. необходимо, чтобы действия этих источников не компенсировались взаимно внутри четырехполюсника. Такой активный четырехполюсник называется автономным.

В случае, когда источники внутри четырехполюсника являются зависимыми, как это, например, имеет место в схемах замещения электронных ламп и транзисторов, то после отсоединения четырехполюсника от остальной части цепи напряжение на разомкнутых выводах его не обнаруживается. Такой активный четырехполюсник называется неавтономным.

Четырехполюсник называется пассивными, если он не содержит источников электрической энергии.

Различают четырехполюсники симметричные и несимметричные. Четырехполюсник является симметричным в том случае, когда перемена местами его входных и выходных выводов не изменяет токов и напряжений в цепи, с которой он соединен. В противном случае четырехполюсник является несимметричным.

Четырехполюсник называется обратимым, если выполняется теорема обратимости, т.е. отношение напряжения на входе к току на выходе, или, что то же, передаточное сопротивление входного контуров не зависит оттого, какая из двух пар выводов является входной, а какая выходной. В противном случае четырехполюсник называется необратимым.

Пассивные линейные четырехполюсники являются обратимыми, несимметричные же активные (автономные и неавтономные) четырехполюсники необратимы. Симметричные всегда обратимы.

По схеме внутренних соединений четырехполюсников различают Г-образный, Т-образный, П-образный, мостовой, Т-образно-мостовой и другие.

Основной смысл теории четырехполюсника заключается в том, что, пользуясь некоторыми обобщенными параметрами четырехполюсника, можно находить токи и напряжения на входе и выходе четырехполюсника.

Анализ частотных характеристик

Входом мы будем называть пару зажимов (полюсов), к которым подключается каждый из независимых источников, задающих внешнее воздействие на цепь. Зажимы, служащие для подключения нагрузки, т.е. ветви, ток или напряжение которой необходимо определить, назовем выходными.

Электрические колебания, создаваемые на входе цепи, называют входным сигналом или воздействием.

Сигнал на выходе цепи, воздействующий на нагрузку, называют реакцией цепи, откликом или выходным сигналом.

Для четырехполюсника все параметры могут быть разбиты на четыре группы:

1) входные параметры. По отношению к источнику сигнала четырехполюсник является двухполюсником, а потому имеет аналогичные ему параметры:

а) комплексное входное сопротивление;

б) комплексную входную проводимость.

2) передаточные параметры. Они характеризуют передачу сигналов через четырехполюсник со входа на выход, т.е. в прямом направлении:

а) комплексный коэффициент передачи напряжения;

б) комплексный коэффициент передачи тока;

в) комплексное сопротивление прямой передачи;

г) комплексная проводимость передачи или коэффициент передачи J в U.

3) выходные параметры:

а) комплексное выходное сопротивление;

б) комплексная выходная проводимость.

4) параметры обратной передачи. Они характеризуют передачу сигналов через четырехполюсник, с выхода на вход, т.е. в обратном направлении.

Если в цепи имеются реактивные элементы (в данном случае емкость), то из-за зависимости их реактивных сопротивлений от частоты воздействия становятся зависящими от частоты и параметры цепи. В общем случае комплексные функции и сопротивления являются комплексными функциями частоты воздействия и представляют собой совокупность частотных характеристик цепи.

Комплексной функцией входного сопротивления называют зависимость от частоты отношения комплексного входного напряжения к комплексному току

Так как комплексное входное сопротивление комплексное число, то можно представить в виде алгебраической формы:

,

где - частотная характеристика активного входного сопротивления;

-частотная характеристика реактивного входного сопротивления.

Комплексная функция входного сопротивления, часто называемая просто входной функцией, зависит от двух реальных частотных характеристик:

Модуль комплексной функции (длина вектора, изображающего комплексное число) называется частотной характеристикой полного входного сопротивления. Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд или действующих значений напряжений и тока на зажимах рассматриваемого участка цепи

Модуль комплексной функции показывает, как зависит от частоты гармонического воздействия полное входное сопротивление.

аргумент частотной характеристики полного входного сопротивления называется фазочастотной характеристикой полного входного сопротивления. Она показывает, как зависит от частоты разность фаз между входным напряжением и током:

Комплексной передаточной функцией напряжения называют зависимость от частоты отношения комплексного гармонического напряжения на выходе к комплексному напряжению на входе четырехполюсника:

Модуль этой функции называется амплитудно-частотной характеристикой.

Данная характеристика показывает зависимость от частоты отношения амплитуд выходного и входного гармонических колебаний.

Аргумент комплексной передаточной функции:

Называют фазочастотной характеристикой, она показывает, как зависит от частоты разность фаз выходного и входного напряжений четырехполюсника.

Частотные характеристики не зависят от амплитуд и начальных фаз воздействий и определяются только данными цепи: числом, свойствами, значениями, порядком соединения друг с другом ее элементов. Таким образом, частотные характеристики описывают собственно цепь.

При графическом изображении частотных характеристик обычно строят отдельные графики полного сопротивления, амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик. Когда исследуемый диапазон частот широк, по оси частот используют логарифмический масштаб. Кроме отдельных графиков амплитудной и фазовой частотных характеристик иногда используют один график комплексной плоскости. При этом каждому значению функции соответствует точка на комплексной плоскости или, что то же самое, вектор, соединяющий начало координат с указанной точкой. С изменением щ конец указанного вектора описывает на комплексной плоскости некоторую кривую - годограф комплексной передаточной функции. Таким образом, годографом называют траекторию движения конца вектора искомого параметра в комплексной плоскости. Годограф можно строить в декартовых, а также в полярных координатах.

Годограф отражает информацию, содержащуюся в амплитудной и фазовой частотных характеристиках цепи, так как каждой точке годографа соответствует определенное комплексное число - комплексный коэффициент передачи при определенной частоте.

Резонансными или колебательными цепями называются электрические цепи, в которых могут возникать явления резонанса напряжений или токов. Резонанс представляет собой такой режим пассивной электрической цепи, содержащей индуктивности и емкости, при котором реактивное сопротивление и реактивная проводимость цепи равны нулю; соответственно равна нулю и реактивная мощность на выводах цепи. Частоты, при которых наблюдается явление резонанса, называется резонансными частотами. Полосу частот вблизи резонанса, на границах которой ток снижается до 0,707 максимального (резонансного) значения I0, принято называть полосой пропускания резонансного контура. Чем выше добротность контура, тем уже его полоса пропускания и соответственно острее резонансная кривая. Острота резонансной кривой характеризует частотную избирательность колебательного контура, т.е. его способность пропускать или задерживать электрические колебания только определенной частоты - резонансной или близкой к ней.

На практике встречается необходимость выделения не только одной какой-либо частоты, но целой полосы частот. Такое разделение частот осуществляется с помощью электрических фильтров.

Электрический фильтр представляет собой пассивный четырехполюсник, пропускающий некоторую определенную полосу частот с малым затуханием; вне этой полосы частот затухание велико. Полоса частот, при которых затухание мало, называется полосой пропускания фильтра. Остальную область частот составляет полоса задерживания (или затухания) фильтра.

Электрические фильтры могут быть классифицированы различным образом.

Классификация по пропускаемым частотам. В зависимости от пропускаемого спектра частот фильтры разделяются на фильтры: а) нижних частот (низкочастотные); б) верхних частот (высокочастотные); в)полосовые; г)заграждающие (режекторные).

Классификация по схемам звеньев. Фильтры могут состоять из звеньев Г-,Т-, П-образных, мостовых и др. В зависимости от числа звеньев фильтр может быть однозвенным или многозвенным.

Классификация фильтров по характеристикам. В отличие от простейших фильтров типа k различают фильтры более высокого класса - производные фильтры типа m и др.

Классификация фильтров по типам элементов. Различают фильтры: а) реактивные; б) пьезоэлектрические; в) безындуктивные и др.

Анализ переходных характеристик

Электрический импульс -- кратковременный всплеск электрического напряжения или силы тока в определённом, конечном временном промежутке. Различают видеоимпульсы -- единичные колебания какой-либо формы и радиоимпульсы -- всплески высокочастотных колебаний.

Формирование импульсов - это изменение параметров исходного сигнала с целью получения импульсов с заданными параметрами.

Генерирование импульсов - автономное преобразование энергии источника питания в энергию требуемой последовательности импульсов или единичных импульсов.

В установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей электрической цепи изменяются по периодическому закону или в частном случае сохраняют неизменные значения. Всякое изменение как топологии цепи, так и параметров входящих в нее элементов нарушает периодический характер изменения токов и напряжений ветвей, т.е. приводит к тому, что режим работы становится неустановившимся. Любое скачкообразное изменение в цепи, нарушающее установившийся режим, называется коммутацией. Если внешнее воздействие на цепь и после коммутации имеет периодический характер, то с течением времени цепь перейдет в новый установившийся режим. Неустановившиеся процессы, которые имеют место в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называется переходными. Переход реальной электрической цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, скачком. Это объясняется тем, что каждому установившемуся состоянию соответствует определенное значение энергии, запасенной в электрическом и магнитном полях. Скачкообразный переход от одного установившегося режима к другому потребовал бы скачкообразного изменения запасенной энергии, что возможно, если источники энергии обладают бесконечно большой мощностью, т.е. отдаваемые ими токи или напряжения могут принимать бесконечно большие значения. В связи с тем, что реальный источник энергии может отдавать только конечную мощность, суммарная энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно, т.е. представляет собой непрерывную функцию времени. Таким образом, возникновение переходных процессов при переходе электрической цепи от одного установившегося состояния к другому связано с тем, что энергия, запасенная реактивными элементами цепи, не может изменяться скачком, а изменяется только плавно, т.е. с конечной скоростью.

Законы коммутации:

1) в начальный момент времени после коммутации ток индуктивности сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:, а затем плавно изменяется начиная с этого значения.

2) В начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:, а затем плавно изменяется начиная с этого значения.

Переходной характеристикой цепи h(t) называют отношение отклика цепи y(t) (например, выходное напряжение Uy(t)) к величине X ступенчатого воздействия (например, входного напряжения ) при нулевых начальных условиях, т.е. ,

Существует ряд аналитических методов расчета переходных характеристик: классический, операторный, метод Дюамеля.

Классический метод сводится к составлению и решению дифференциального уравнения, устанавливающего связь между входным и выходным сигналом.

Метод интеграла Дюамеля используется при произвольном воздействии сложной формы на входе цепи. В основе метода лежит принцип наложения. Суть метода: разбиение отклика на сумму, заменить ступенчатой функцией, после чего найти отклик на каждую ступень, затем просуммировать с помощью интеграла Дюамеля отклики.

Операторный метод нахождения переходных процессов основан на использовании прямого и обратного преобразования Лапласа, и связан с решением алгебраических уравнений относительно изображения.

Основные этапы анализа переходных процессов операторным методом:

1) Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий. Задание на вход цепи единичный скачок напряжения . С помощью таблиц или преобразование Лапласа найти изображение скачка:

Где - оператор Лапласа

2) Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации. Составление операторной схемы замещения цепи производится непосредственно по схеме замещения цепи для мгновенных значений путем замены каждого идеализированного пассивного элемента его операторной схемой замещения и представления токов и напряжений идеализированных источников тока или напряжения их операторными изображениями.

3) Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме.

4) Решение уравнений электрического равновесия цепи относительно изображений искомых токов и напряжений.

5) Определение оригиналов искомых токов и напряжений. Как правило, определение оригиналов искомых токов и напряжений производится путем применения таблиц обратного преобразования Лапласа с учетом основных свойств преобразования Лапласа. Если изображение интересующей функции представляет собой отношение двух полиномов p, для выполнения обратного преобразования Лапласа можно воспользоваться теоремой разложения.

Теорема разложения. Если изображение искомого тока или напряжения имеет вид рациональной дроби

Причем многочлены (относительно p) удовлетворяют следующим условиям: степень ниже степени , ak и bk - вещественные числа, а корни p1,p2,…, pn уравнения различны, то оригинал определяется выражением

Если знаменатель уравнения имеет один корень, равный нулю, т.е. , то оригинал находится по формуле

Если в выше приведенном уравнении имеет n различных корней (p1,p2,…, ps) и из них корень p1 кратностью m1, корень p2 кратностью m2, корень ps, то по изображению оригинал вычисляют по формуле

Здесь выражение, стоящее в знаменателе квадратной скобки, надо сначала сократить на и лишь после этого дифференцировать.

Формулу (7.2) можно также записать:

Если уравнение содержит одновременно и простые, и кратные корни, то для определения слагаемых, соответствующих простым корням, используется формула (7) или (7.1), если имеется простой корень p=0, для кратных - формула (7.2 или 7.3).

Временными параметрами, характеризующими переходную характеристику, являются постоянная времени ф и время установления tуст.

Постоянная времени вводится для экспоненциальной функции вида:, где p. Постоянная времени характеризует скорость изменения экспоненциальной функции на начальном этапе. Под постоянной времени цепи понимают время, за которое выходной сигнал, изменившийся по закону , уменьшается в раз, т.е. до уровня от своего начального значения.

Время установления - это время, за которое переходная характеристика достигает своего стационарного значения с заданной точностью. Функция, уменьшающая по закону за время 3ф, достигает своего стационарного значения с точностью 5%. Если нет особых оговорок, то за время установления принимают 3ф (tуст=3ф).

Воздействие в виде прямоугольного импульса может рассматриваться как наложение сдвинутых во времени на длительность импульса противоположных по знаку скачков напряжения:

Реакция цепи на такое импульсное воздействие также представляется наложением сдвинутых во времени на tи реакций цепи на указанные скачки

Задание 1. Расчет частотных характеристик электрической цепи

1. Для электрической цепи рассчитать:

а. Комплексную функцию коэффициента передачи напряжения , его АЧХ и ФЧХ .

2. Построить графики , при заданных элементах схемы по оси частот.

3. Построить годографы ,.

4. Определить характерные частоты.

5. Качественно объяснить ход построенных зависимостей.

1.1

С=0.1мкФ

R1=10кОм

R2=10кОм

R3=20кОм

а) Найдем комплексную функцию коэффициента передачи по напряжению Ku(jщ)- есть отношение выходного напряжения к входному , то есть

Ku(jщ)= = =

= =

Аналогично получим выражения для АЧХ и ФЧХ.

Ku(щ)=

Найдем значения Ku(щ) в момент времени t=0,то есть при щ=?,и t=?,то есть при щ=0.

Ku(0)= = =0,5

Ku(?)= = =0.8

=arctg + arctg =

=arctg

Найдем значения в момент времени t=0, то есть щ=?,и t=?, то есть при щ=0.

=0

(?)=0

1.2 Используя MathCAD, построим графики АЧХ и ФЧХ соответствующих функций.

1.3 Используя MathCAD, построим годографы Zвх(щ) ,Ku(щ)

1.4 Определим граничную частоту щгр для Ku(щ).Граничная частота определяется из вырожения:

Ku=

Расчитаем ее для нашего примера:

К max=0.8.Путем подстановки и решения линейного уравнения получим,что =1000Гц

Вывод:

Данная схема является фильтром высоких частот (ФВЧ), т. к. подавляет сигналы ниже 1000 Гц и пропускает сигналы выше данной частоты.

График входного сопротивления имеет такой вид, потому что в цепи имеется реактивный элемент, т. е. конденсатор, который является частотно-зависимым.

При низких частотах его сопротивление стремится к бесконечности, и ток в цепи течет через резистор R2 и резистор R3, R1. Таким образом, входное сопротивление складывается из сопротивлений 3х резисторов. При высоких же частотах сопротивление конденсатора стремится к 0, тогда ток течет через конденсатор и резисторы R3 и R1. Следовательно, входное сопротивление равно сопротивлениям резисторов R3 и R1.

Задание 2.Расчет линейной цепи при импульсном воздействии

1. Для электрической цепи рассчитать операторным методом переходную характеристику.

2. Построить график переходной характеристики.

3. Определить параметры переходной характеристики: постоянные времени ф, время установления tуст.

4. Качественно объяснить характер переходной характеристики.

2.1

L1=1 Гн

L2=10 мГн

R1=100 Ом

R2=1 кОм

Рассчитаем переходную характеристику для заданной цепи.ПХ цепи определяется как отношение отклика цепи к величине ступенчатого воздействия при нулевых начальных условиях.

Расчитаем ПХ операторным методом.Для этого задаем на вход цепи единичный скачок напряжения

U1(t)ч1(t)

1(t)ч1/p

p-оператор Лапласа

p=j*щ

Определим начальное условие в схеме.Нулевые начальные условия означают,что индуктивность была разряжена до коммутации и не запасали энергию.

UL(0-)=UL(0+)=0

Частотным методом апределим комплексное значение коэффициента передаточной цепи K(jщ).

K(jщ) =

Произведем замену p=j*щ и передем к изображению передаточной харрактеристики K(p).

K(p)=

Найдем изображение переходной характеристики

H(p)=

H(p)чh(t)

H(p)=

A(p)=1

B(p)=

B(p)=0

=0

?0

=0

=0

=0

D=

D=1208201

P1=

P2=

Построим график переходной характеристики:

Определим параметры переходной характеристики:

Найдем постоянные времени ф1 и ф2 по формуле ф=-1/р,

ф1=0.011

ф2=9.09

Определим время установления с точностью 5% и 3%.

,

Видно, что , определенное графически, практически совпадает с , определенным расчетами.

Вывод:

Данная цепь является фильтром.

В начальный момент времени после коммутации ветвь с индуктивностью, через которую ток был равен нулю , можно считать разомкнутой, т.е. сопротивление индуктивности при t=+0 имеет бесконечно большое значение. Поэтому ток ;

И все напряжение источника мгновенно прикладываются к индуктивности. Со временем ток через индуктивность начинает возрастать. Это приводит к увеличению UR и уменьшению UL. В пределе при , ток и напряжение достигнут максимальных значений.

Скорость изменения тока и напряжения не зависит от входного напряжения, а определяется только постоянной времени. Чем больше ф, тем медленнее протекают переходные процессы. Так как в данной цепочке 0.011.

Вывод:

Данная цепь является фильтром.

В начальный момент времени после коммутации ветвь с индуктивностью, через которую ток был равен нулю , можно считать разомкнутой, т.е. сопротивление индуктивности при t=+0 имеет бесконечно большое значение. Поэтому ток ;

И все напряжение источника мгновенно прикладываются к индуктивности. Со временем ток через индуктивность начинает возрастать. Это приводит к увеличению UR и уменьшению UL. В пределе при , ток и напряжение достигнут максимальных значений.

Скорость изменения тока и напряжения не зависит от входного напряжения, а определяется только постоянной времени. Чем больше ф, тем медленнее протекают переходные процессы. Так как в данной цепочке 9.09

Вывод:

Анализ ПХ показывает, что она состоит из двух экспонент: «быстрой», с постоянной времени ф2=-1/р2, и «медленной», с постоянной времени ф2=-1/р2,

Данная схема является полосовым фильтром.

Список литературы:

1. Каяцкас А.А. Основы радиоэлектроники. М.: Высшая школа, 1988.

2. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи. Спб: Издательство «Лань», 2008.

3. Попов В.П. Основы теории цепей. М.: Высшая школа, 2000.

4. Шебес М.Р. задачник по теории линейных электрических цепей. М.: Высшая школа, 1982.

5. Погодин Д.В. Расчет частотных и переходных характеристик электрических цепей. Казань: издательство Казан. гос. техн. ун-та, 2003.