Прикладная механика
3
Задача 1
Для стального трубчатого вала , который оборачивается с постоянной угловой скоростью, требуется:
1. Определить, пренебрегая трением в подшипниках, мощность на шкиве P0 .
2. Найти крутящиеся моменты, переданные каждым шкивом.
3. Построить эпюру моментов.
4. Из условия жесткости и крепости определить внутренний и внешний диаметры вала.
5. Построить эпюру углов закручивания по длине вала, приняв за недвижимый срез под первым левым шкивом.
Дано:
P1 = 24 кВт; a = 1,2 м; б = 0,8; G = 0,9?105Мпа.
P2 = 32 кВт; b = 1,0 м; щ = 130 рад/с;
P3 = 27 кВт; c = 0,4 м; [у] = 180 МПа;
P4 = 12 кВт; d = 1,0 м; [и] = 3,0є;
Решение:
Схема вала приведена на Рис. 1.
Рис. 1. Вал
Определяем мощность на шкиву P0 :
? Pi = P1 - P2 - P0 + P4 - P0 = 0;
P0 = P1 - P2 - P3 + P4 = 24 - 32 - 27 + 12 = - 23 кВт.
1. Определяем крутящиеся моменты на шкивах:
Т1 = = = 0,185 кНм;
Т2 = = = 0,246 кНм;
Т3 = = = 0,207 кНм;
Т4 = = = 0,092 кНм;
Т0 = = = - 0,177 кНм.
2. Определяем крутящиеся моменты на участках вала:
Ткр1 = Т1 = 0,185 кНм;
Ткр2 = Т1 - Т2 = 0,185 - 0,246 = - 0,061 кНм;
Ткр3 = Т1 - Т2 - Т0 = - 0,061 + 0,177 = 0,116 кНм;
Ткр4 = Т1 - Т2 - Т0 - Т3 = 0,116 - 0,207 = - 0,091 кНм.
Строим епюру крутящих моментов. Максимальный крутящий момент на первом участке:
Ткрmax = 0,185 кНм.
3. Определяем диаметр вала из условия прочности:
ф =
[ф]= 0,6?[у] = 0,6?180 = 108 Мпа.
Для трубчатого вала
Wp =
Тогда условие крепости будет
ф =
Из условия получаем
D = = = 24,25 мм.
Определяем диаметр вала из условия жесткости
И =;
Ip = .
Допустимый угол закручивания задан в градусах, а нужно в радианах, поэтому:
[и]= 3,0 = 0,0523 рад/м.
Условие жесткости:
И =
Из условия получаем:
D = = 32,3 мм.
Принимаем D = 33 мм.
d = б?D = 0,8?33 = 26,4 мм.
Тогда:
Ip = = = 6,87?104 мм4
4. Найдем углы закручивания участков вала по формуле:
цi = ;
ц1 = = 0,0359 рад = 2,06є;
ц2 = = - 0,00987 рад = - 0,565є;
ц3 = = 0,0075 рад = 0,43є;
ц4 = = - 0,0147 рад = - 0,84є.
Приняв за недвижимый срез под левым шкивом, строим эпюру угла закручивания:
б1 = 0;
б2 = ц1 = 2,06є;
б0 = ц1 + ц2 = 2,06є + (-0,565є) = 1,495є;
б3 = ц1 + ц2 + ц3 = 1,925є;
б4 = ц1 + ц2 + ц3 + ц4 = 1,085є.
Рис. 2. Вал и его эпюры
Задача 2
Для статически определимого бруса квадратного ступенчато-переменного сечения, нагруженного показанными на рис.3 осевыми сосредоточенными нагрузками, требуется:
1. Построить эпюру продольных сил.
2. Из условия прочности определить площади и размеры сечений участков бруса.
3. Вычислить абсолютные продольные деформации участков бруса и построить эпюру его осевых перемещений.
4. Сделать эскиз ступенчатого бруса.
Рис.3. Ступенчатый брус
Дано:
F1= +94 kH; l1=2,6 м;
F2=-56 kH; l2=2,0 м;
F3= +37 кН; l3= 1,2 м;
F4= +84 кН; l4=3,2 м;
[у] = 170 МПа; Е = 1,9?105 МПа.
Решение:
1. Изображаем в масштабе (по длине) брус и указываем нагрузку и размеры участков. На каждом участке проводим сечение и рассматриваем равновесие нижней отсеченной части, находим продольную силу в этих сечениях. Так как на исходном рисунке все силы направлены вниз, то продольная сила в любом сечении будет равна алгебраической сумме всех заданных сил, находящихся ниже данного сечения.
Сечение 1-1:
N1=F1=94 кН;
Сечение 2-2:
N2=F1+F2=90+(-56)= 38 кН;
Сечение 3-3: N3= F1 + F2+ F3 = 90 + (-56) + 37 = 75 кН;
Сечение 4-4: N4=F1+ F2+ F3+ F4= 90 + (-56) + 37 + 84 = 159 кН.
По этим данным строим эпюру N, учитывая, что на протяжении участка продольная сила постоянна.
2. Из условия прочности:
у =
находим площади поперечных сечений участков бруса:
A1 ? = = 552,9 мм2;
а1 = = =23,51 мм;
A2 ? = = 223,53 мм2;
а2 = = = 14,95 мм;
A3 ? = = 441,18 мм2;
а3 = = =21 мм;
А4 ? = = 935,29 мм2;
а4 = = = 30,58 мм.
Примечание: N и [у] имеют одинаковый знак поэтому при вычислении площади поперечного сечения их значения берутся по модулю.
3.Определяем удлинения (укорочения) участка бруса:
Дl1 = = = 23,2 мм;
Дl2 = = = 17,89 мм;
Дl3 = = = 10,73 мм;
Дl4 = = = 28,63 мм .
Строим эпюру перемещений, для чего определяем перемещение точек А, В, С. D и Е.
уA = 0;
уВ = уА + Дl4 = 0 + 28,63 = 28,63 мм ;
уC = уВ + Дl3 = 28,63 + 10,73 = 39,36 мм ;
уD = уC + Дl2 = 39,36 + 17,89 = 57,25 мм;
уE = уD + Дl1= 57,25 + 23,2 = 80,45 мм .
4.
Делаем эскиз ступенчатого бруса.
Задача 3
Для заданной двухопорной балки, нагруженной двумя сосредоточенными силами F1 и F2, равномерно распределенной нагрузкой q и парой сил М, требуется определить опорные реакции (Рис.5).
Рис.5. Схема нагрузки балки
Дано:
F1 = 32 кН; а = 1,0 м;
F2 = 12 кН; b = 1,2 м;
q = 20 кН/м; с = 1,6 м;
М = 32 кН?м; d = 1,4 м;
l = 1,2 м.
Решение:
1. Составляем уравнение равновесия балки:
?МА = 0;
- F1?a - q(c+d) () - F2 (b+c) - M + RB (b+c+d+l) = 0;
?МВ = 0;
- F1 (a+b+c+d+l) - RA (b+c+d+l) + F2 (d+l) + q(c+d) () - M= 0;
2. Определяем реакции опор:
RB= ==
= 48,07 кН;
RA = ==
= - 8,07 кН;
Отрицательное значение RA указывает, что направление силы RA противоположно тому, которое изображено на рисунке, т.е. опорная реакция RA направлена по вертиккали вниз.
Проверка:
? Fiy = 0;
F1 + RA - F2 -q(c+d) + RB =0;
32 - 8,07 - 12 - 20?3,0 + 48,07 = 0,
Потому
RA = - 8,07 кН;
RB = 48,07 кН.
Задача 4
Для заданной двухопорной балки, нагруженной двумя сосредоточенными силами, распределенной нагрузкой и парой сил, требуется:
1. Определить опорные реакции.
2.Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и определить сечение, в котором действует наибольший изгибающий момент.
3.Исходя из условия прочности по нормальным напряжениям, определить требуемый момент сопротивления и подобрать двутавровое, круглое и прямоугольное сечение (с заданным соотношением h/b) и сравнить их по экономичности, приняв для стали [у]= 160 МПа.
Схема балки приведена на рис.6.
Дано:
а = 1,6 м;
b = 1,2 м;
с = 1,0 м;
d = 1,6 м;
l = 1,4 м.
F1= 26 кН;
F2= 12 кН;
q = 16 кН /м;
М = 32 кН?м;
h/b = 2.
Рис. 6. Схема нагружения балки
Решение:
1.Определяем опорные реакции:
= 0;
-RA ?5,4- F1?2,6 - M + q?3,8?1,9 - F2?1,4 = 0
RA = = - 0,16 кН;
= 0;
RВ ?5,4 + F1?2,8- q?3,8?3,5 -М - F2?6,8 = 0
RВ == 46,96 кН.
Проверка:
= 0.
RA - q?3,8 + F1 + RВ - F2 = -0,16 - 60,8 + 26 + 46,96 - 12 = 0.
Значит, RA = - 0,16 кН;
RВ = 46,96 кН.
2. Разбиваем балку на 5 участков и, проведя на каждом участке произвольное сечение, определяем поперечную силу и изгибающий момент:
Участок I: 0? х1 ? 1,6 м
Qx1 = RA = - 0,16 кН
Мx1 = RA ?х1= - 0,16 ? х1
х1 = 0 МА = 0
х1 = 1,6 м МА = -0,256 кН?м
Участок II: 0? х2 ? 1,2 м
Qx2 = RA - q х2
Мx2 = RA (1,6 + х2) - q = -0,16(1,6 + х2) - 16?
x2 = 0 Qx2 = - 0,16 кН Мx2 = -0,256 кН?м
x2 = 1,2 м Qк = -19,36 кН Мк = -11,968 кН?м
Участок III: 0? х3 ? 1,0 м
Q = RA - q (1,2 + х3) + F1 = -0,16 - 16(1,2 + х3) + 26 = 25,84 - 16(1,2 + х3)
М = RA (2,8 + х3) + F1? х3- = -0,16(2,8+x3) + 26 x3-
x3 = 0 Qk = 6,64 кН Мk = -11,968 кН?м
x3 = 1,0м Q = - 9,36 кН М = -13,328 кН?м
Участок IV: 0? х4 ? 1,4 м
Q = F2 =12 кН
М = -F2 х4 = -12 х4
х4 = 0 М = 0
х4 = 1,4 м М = - 16,8 кН?м
Участок V: 0? х5 ? 1,6 м
Q = F2 - RВ + q? х5 = 12 - 46,96 + 16 х5 = -34,96 + 16 х5
M = -F2(1,4 + х5) + RВ х5 - q? = -12(1,4 + х5) +46,96 х5 - 16
x5 = 0 Q = -34,96 кН М = -16,8 кН?м
x5 = 1,6 м Q = -9,36 кН М = 18,656 кН?м
По полученным данным строим эпюры Q и М (рис.7).
На участке III поперечная сила Q принимает нулевое значение, поэтому в этом положении на эпюре «М» будет екстремум.
Qх3 = 0;
25,84 - 16(1,2+х3) = 0;
Х3 = = 0,415 м
М (0,415) = - 10,59 кНм;
Наибольшее значение изгибающего момента Мmax = 18,856 кН?м
1. Из условия прочности по нормальным напряжениям:
уmax = ?[у]
находим требуемый момент сопротивления:
Wx ?= = 181 см3
По таблицам сортамента выбираем двутавр № 20, у которого Wx = 184 см3 а площадь поперечного сечения А = 26,8 см2.
Подбираем прямоугольное сечение:
Wx =
при h = 2?b
Wx =
Откуда b = = = 6,5 см
h = 2b = 13 см
А0 = b?h = 6,5 ?13= 84,5 см2
Подбираем круглое сечение
Wx =
d = = 12,15 см
А0 = == 115,88 см2
Находим отношение площадей, приняв площадь сечения двутавра за единицу:
А1 : Ао : А0 = 1 : 3,15 : 4,32.
Список использованой литературы
1. Степин П.А. Сопротивление материалов: Учебник - М., Высшая школа , 1983 - 303 с.
2. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов: Уч. пособие/ Миролюбов И.Н. и др. - М., Высшая школа, 1985 - 399с.
3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики - М., Высшая школа, 1986 - 416 с.
4. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике - М., Высшая школа, 1985 - 367 с.
5. Архипов О.Г., Кравцова Е.М., Галабурда Н.Ш. Механіка: Навч. посібник- Луганськ: Вид-во Східноукр. Нац. Ун-ту, 2005 - 256с.
