Основные расчеты в технической механике
15
Задача №1 (рис. 2)
Балка закреплена шарнирно в точка А и удерживается в горизонтальном положении стержнем ВС, нагружена силами F1 , F2 и парой сил с моментом М
Определить реакции шарнира А и стержня ВС
Решение:
15
Зададимся системой координат с центром в точке А.
Обозначим реакцию стержня ВС в точке В вектором RB , направление же реакции шарнира А не известно.
Составим уравнение моментов в точке А:
УМА= 0
УМА=МА(F1)+ МА(F2 ) - МА(RB)+ МА(RA) + M =0
Заметим, что момент реакции шарнира в точке А будет равен нулю, так как плечо l=0
МА(F1)= F1 • l1=24 • 0,6 = 14,4 кН•м
МА(F2)= F2• (l1+ l2+l3)= 40 • 2,5 = 100 кН•м
МА(RA)= 0 кН•м
М = - 3 кН•м
получаем уравнение:
14,4 + 100 - 3 - МА(RB) = 0
- МА(RB) = - 14,4 - 100 + 3
- МА(RB) = - 111,4 кН•м
МА(RB) = 111,4 кН•м
Найдем реакцию RB:
МА(RB) = RB • cos 45? · (l1 + l2)
RB=
RB= = 78,8 кН
Определим проекцию реакции RA на ось x из уравнения суммы проекций:
УРх= 0
УРх= F1x+RBx+F2x+RAx=0
F1x= F1 • cos 90° = 0
F2x= F2 • cos 90° = 0
RBx= RB • cos 45°= 79,6 · 0,7 = 55,72
УРх= 55,72 + RAx =0
RAx= - 55,72
Определим проекцию реакции RA на ось y из уравнения суммы проекций:
УРy = 0
УРy = F1y+RBy+F2y+RAy=0
F1y = - F1 • cos 0° = - 24
RBy = RB • cos 45° = 78,8 · cos45° = 55,72
F2y= - F2 • cos 0° = - 40 • 1 = - 40
УРy = -24 + 55,72 - 40 + RAy= 0
RAy= 24 - 55,72 + 40 = 8,28
Реакцию RA найдем из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора :
RA= кН
Найдем угол между вектором реакции RA и осью x по косинусу угла б
cos б ==
б ? 8,5°
Для проверки определим сумму моментов сил и реакций в точке В, которая для тел находящихся в равновесии должна равняться нулю.
УМВ = МB(F1)+ МВ(F2)+M+ МВ(RA)
МВ(F1) = - F1 •l2 = - 24 • 1,4 = - 33,6 кН•м
МВ(F2) = F2 • l3 = F2 • l3 = 40 • 0,5 = 20 кН•м
МВ(RA) = RA • sin 8,44? · (l1 + l2) = 56,332 · sin 8,5° · 2 = 16,65 кН•м
M = - 3 кН•м
УМВ = - 33,6 + 20 + 16,6 - 3 ? 0
Задача № 2 (рис. 19)
Определить место положения центра тяжести сечения составленного из прокатных профилей
Решение:
15
А1 = 34,8 см2 = 3480 мм2
А2 = 115 • 10 = 1150 мм2
y1 = 130
x1 = 0
y2 = 10 : 2 = 5
x2 = 0
Так как сечение симметрично относительно оси y достаточно определить только координату yс
yс = = 98,95 мм
xc = 0
Задача №3 (№23)
Груз массой 100 кг опускается равноускоренно с помощью невесомого троса, перекинутого через блок и в первые 4 секунды проходит 8 м. Определить силу натяжения троса.
Решение:
На груз действует сила натяжения троса F и сила тяжести mg, под действием которых он движется с ускорением а. Следовательно по второму закону Ньютона
mg + F = ma
Так как все силы направлены по вертикали, выберем вертикальную ось у с положительным направлением по ускорению (вниз)
Проектируем
mg + F = ma
15
mg - F = ma или F = m(g - a)
Из кинематики :
h = at2/2
Следовательно :
F = m(g - 2h/t2) = 100 · (9,8 - ) = 880 H
Задача № 4 (рис. 37)
Для ступенчатого стального бруса требуется:
а) определить значение продольной силы и нормального напряжения по длине бруса.
б) построить эпюру.
в) определить удлинение (укорочение) бруса.
Модуль продольной упругости: E = 2 •105 мПа
Решение:
Разобьем брус на участки начиная от свободного конца. Границы участков определяются точками приложения сил и местами изменения размеров поперечного сечения.
Всего будет 4-ре участка. Проведя сечение и отбрасывая левые части бруса можно определить продольные силы в его поперечных сечениях.
15
Участок I - не деформируется и продольные силы в нем будут равны нулю.
N1 = 0
N2 = N3 = 100 кН
N4 = F1 - F2 = 100 - 50 = 50 кН
т.е. на всех участках брус растянут, а продольные силы будут равны:
на участках II и III - 100 кН
на участке IV - 50 кН
Чтобы определить нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса нужно разделить значения продольных сил на площади сечений.
для участка II : уII =
для участка III : уIII =
для участка IV : уIV =
Определим относительное удлинение на разных участках бруса. По закону Гука, относительное удлинение:
еII =
еIII =
еII =
Абсолютное удлинение на участках:
II = 0,00025 • 500 = 0,125 мм
III = 0,0002 • 200 = 0,04 мм
IV = 0,0001 • 400 = 0,04 мм
Общее удлинение бруса будет равно:
0,125 + 0,04 + 0,04 = 0,205 мм
Задача №5 (рис.43)
Для заданной консольной балки построить эпюру изгибающих моментом и подобрать из условий прочности размеры поперечного сечения в двух вариантах:
- сдвоенный швеллер
- прямоугольник с отношением
Сравнить массы балок по обоим расчетным вариантам.
Материал балки - сталь Ст.3 [у] = 160 мПа
Решение:
Разобьем балку на участки, границы которых определим точками приложения внешних сил.
15
На первом участке балки момент будет равен:
- в точке D
М1 = - М = - 10 кН· м
- в точке С
М1 = - М = - 10 кН· м
На втором участке:
- в точке С
М2 = - М = - 10 кН· м
- в точке В
М2 = - М - F2 · z2 = - 10 - 8 · 0,8 = - 16,4 кН · м
На третьем участке:
- в точке В
М3 = - М - F2 · z2 = - 10 - 8 · 0,8 = - 16,4 кН · м
- в точке А
М3 = - М - F2 · (z2 + z3) - F1 · z3 = - 10 - 8 · (0,4 + 0,8) - 24 · 0,4 = - 29,2
Наибольший по величине изгибающий момент наблюдается в месте жесткой заделки балки в точке A и равен он:
Найдем требуемый момент сопротивления
Wx ?
Подбираем сечение балки в двух вариантах:
1. Сечение - сдвоенный швеллер
Wx ? 182,5 см3 см3
Подходит швеллер № Wx = см3
2. Сечение - прямоугольник с отношением сторон
для прямоугольника
Wx=;
подставив сюда и приняв Wx равным требуемому значению, получим:
Wx== = 182,5 см3
отсюда
h = 11,8 см
b = 11,8 : 3 = 3,9 см
Задача № 6 (рис.55)
Для заданного привода машины необходимо
а) дать характеристику привода и его отдельных передач
б)определить общие КПД и передаточные отношения.
в)определить мощность, вращающие моменты и угловые скорости для всех валов.
При расчетах принять следующие средние значения КПД (с учетом потерь на трение в опорах валов) передач:
зубчатая цилиндрическая - 0,97 (закрытая)
- 0,96 (открытая)
зубчатая коническая - 0,96 (закрытая)
- 0,95 (открытая)
червячная - 0,8 (закрытая)
цепная - 0,92 (открытая)
клиноременная - 0,95 (открытая)
15
Решение:
I ступень - закрытая зубчатая цилиндрическая передача с числом зубьев на ведущем колесе Z=21, на ведомом - Z = 42;
II ступень - открытая зубчатая цилиндрическая передача с числом зубьев на ведущем колесе Z=15, на ведомом - Z =54;
II ступень - цепная передача с числом зубьев на ведущем колесе Z=20, на ведомом - Z=60;
Определим передаточные отношения на отдельных передачах и на всем приводе:
i1-6= i1-2 • i2-4 • i5-6 = 2 •3 •3 = 18
Для определения КПД, нам требуется значение угловой скорости каждой передачи и всего привода.
щ1 = щдв = 74,8 с-1
из определения передаточного числа знаем:
i1-2 =
отсюда:
щ3 = щ2 = 37,4 с-1
щ5 = щ4 = 12,47 с-1
Определим мощности для каждой передачи и всего привода:
Р1=Рдв=5,5 кВт ; зI = 0,97 (по условию)
Р2=зI • Р1 = 0,97 • 5,5 = 5,335 кВт
аналогично для остальных передач:
Р3=Р2= 5,335 кВт ; зII = 0,96 (по условию)
Р4=зII • Р3 = 0,96 • 5,335 = 5,122 кВт
Р5= Р4= 5,122 кВт ; зIII = 0,92 (по условию)
Р6=зIII • Р5 = 0,92 • 5,122 = 4,71 кВт
зприв. = зI ? зII ? зIII = 0,97 •0,96 •0,92 = 0,857
Определим вращающие моменты для каждого вала
