Основи електротехніки
Задача 1
Задано величини напруги на вхідних затисках схеми й опору. Визначити струми у всіх вітках схеми (рис. 1.0).
Рис. 1.0
Вихідна схемаДано:U = 100 В; R1 = 10 Ом;R2 = 20 Ом; R3 = 7 Ом;R4 = 8 Ом; R5 = 10 Ом;R6 = 20 Ом; R7= 10 Ом;R8 = 5 Ом; R9 = 5 Ом.Визначити: струми в вітках.Рішення:Рис. 1.1
Проставимо напрямки струмів у вітках від (+) до (-). Позначимо вузли а, в, с, d. Проставимо напрямки напруг на паралельних ділянках кола Uав, Ucd.Схему перетворимо до еквівалентного опору. Опори R7, R8 і R9 з'єднані послідовно і еквівалентний опір цієї вітки дорівнює: R789 = R7 + R8 + R9 = 10 + 5 + 5 = 20 Ом (Рис. 1.1). Опори R6 і R789 з'єднані паралельно і їх еквівалентний опір: R6-9 = R6? R789/( R6 + R789)=20?20/(20+20)= 10 Ом (Рис. 1.2).Опори R5 і R6-9 з'єднані паралельно і їх еквівалентний опір (опір паралельної ділянки кола cd): Rcd = R5? R6-9/( R5 + R6-9) = 10?10/(10+10) = 5 Ом (Рис. 1.3). R1 R1 R2 R3-9Опори R3, Rcd і R4 з'єднані послідовно і їх еквівалентний опір:R3-9 = R3 + Rcd + R4 = 7 + 5 + 8 = 20 Ом (Рис. 1.4).Опори R2 і R3-9 з'єднані паралельно і їх еквівалентний опір (опір паралельної ділянки кола ав): Rав = R2? R3-9/( R2 + R3-9) = 20?20/(20+20) = =10 Ом (Рис. 1.5).Еквівалентний опір усього кола (опори R1 і Rав з'єднані послідовно):Rекв = R1 + Rав = 10 + 10 = 20 Ом (рис. 1.6).Струми визначаємо за допомогою закону Ома, розглядаючи схеми в зворотному порядку.Сила струму на вході кола:I1 = U/Rекв = 100/20 = 5 А.Напруга на паралельній ділянці ав:Uав = I1?Rав = 5?10 = 50 В.Сила струму: I2 = Uав/R2 = 50/20 = 2,5 A.Сила струму: I3 = I4 = Uав/R3-9 = 50/20 = 2,5 А.Напруга на паралельній ділянці cd:Ucd = I3?Rcd = 2,5?5 = 12,5 В.Сила струму: I5 = Ucd/R5 = 12,5/10 = 1,25 A.Сила струму: I6 = Ucd/R6 = 12,5/20 = 0,625 A.Сила струму: I7 = Ucd/R789 = 12,5/20 = 0,625 A.
Перевірка правильності рішення по першому закону Кірхгофа.
Вузол а: I1 - I2 - I3 = 0; 5 - 2,5 - 2,5 = 0.
Вузол c: I3 - I5 - I6 - I7 = 0; 2,5 - 1,25 - 0,625 - 0,625 = 0.
Задача 2
Дані всі ЕРС і опори в схемі (рис. 2.1). Потрібно:
1. Скласти рівняння Кірхгофа (не вирішуючи).
2. Перетворити пасивний трикутник опорів в еквівалентну зірку і визначити струми віток методами контурних струмів і двох вузлів.
3. Скласти баланс потужностей.
4. Побудувати потенційну діаграму для контуру, що містить обидві ЕРС.
Рис.2.1
Вихідна схемаДано:E1 = 60B,E2 = 40 Ом,R1 = 8 Oм,R2 = 10 Oм,R3 = 12 Oм,R4 = 16 Oм,R5 = R6 = R7 = 30 OмРішення:Довільно проставляємо в вітках напрямки струмів і вибираємо напрямки обходів обраних контурів.Складаємо рівняння за законами Кірхгофа.Перший закон.Для вузла 1 I7 + I5 - I1 = 0.Для вузла 2 I2 - I6 - I5 = 0.Для вузла 3 I3 + I6 - I7 = 0.Другий закон.Для контуру А E1 + E2 = I1?R1 + I2?R2 + I5?R5.Для контуру В E2 = I2?R2 - I3?(R3 + R4) + I6?R6.Для контуру С 0 = I7?R7 - I5?R5 + I6?R6.Перетворимо пасивний трикутник опорів в еквівалентну зірку (рис. 2.2).Рис.2.2. Перетворення трикутника опорів у еквівалентну зіркуТак як опори трикутника однакові, то еквівалентні опори зірки (рис. 2.2) також однакові і рівні:Рис.2.3. Розрахункова схемаОпори віток (рис.2.3) після перетворення трикутника в еквівалентну зірку рівні:R1/ = R1 + R57 = 8 + 10 = 18 Ом;R2/ = R2 + R56 = 10 + 10 = 20 Ом;R3/ = R3 + R4 + R67 ==12 + 16 + 10 = 38 Ом.1. Визначимо струми по методу контурних струмів (рис. 2.3). Для цього складемо контурні рівняння.E1 + E2 = J1?(R1/ + R2/ ) + J2? R2/.E2 = J1?R2/ + J2?(R2/ + R3/ ).Підставимо чисельні значення.100 = J1?38 + J2?20.40 = J1?20 + J2?58.Контурні струми знаходимо за допомогою методу визначників.J1 = ?1/? = 5000/1804 = 2,77.J2 = ?2/? = - 480/1804 = - 0,266.Визначимо струми в вітках.I1 = J1 = 2,77 A; I2 = J1 + J2 = 2,77 - 0,266 = 2,504 A.I3 = - J2 = - 0,266 A.
Знак мінус свідчить про те, що струм у третій вітці в дійсності тече в зворотному напрямку.
2. Визначимо струми за допомогою методу двох вузлів (рис. 2.3). Спочатку визначимо вузлову напругу.
g1, g2, g3 - провідності відповідних віток. Далі визначимо струми в вітках.
I1 = (E1+UАВ)/ R1/ = (60- 10,11)/18 = 2,77 A.
I2 = (E1-UАВ)/ R2/ = (40 + 10,11)/20 = 2,505 A.
I3 = -UАВ/ R3/ = -10,11/38 = - 0,266 A.
3. Складемо баланс потужностей. Потужність, споживана від джерел ЕРС, повинна бути дорівнювати потужності, виділюваної в навантаженні (в опорах): Рспож = Рнагр.
E1? I1 + E2 ? I2 = I12? R1/ +I22? R2/ + I32?R3/.
60 ? 2,77 + 40 ?2,505 = 2,772 ? 18 + 2,5052 ? 20 + 0,2662 ? 38.
266,4 = 266,3.
Погрішність розрахунків:
Точність розрахунку досить висока.
4. Для побудови потенційної діаграми визначимо потенціали всіх точок, попередньо прийнявши потенціал точки В рівним нулеві.
jB--=--_;--jС--=--jB----E1--=-----6_--B;--jА--=--jC--+--I1?R1--=-----6_--+--2,77?18--=-----1_,14--B;--jD--=--jА--+--I2?R2--=---1_,14--+--2,5_5?2_--=--4_--B;--jB--=--jD--–E2--=--_.
Рис.2.4. Потенційна діаграма
Задача 3
По заданих величинах визначити для кола (рис. 3.1) перемінного струму частотою f =50 Гц при амплітуді Uм і початковій фазі цu:
Показання приладів електромагнітної системи (вольтметра, амперметра і ватметра).
Побудувати в масштабі векторну діаграму напруг і струму.
Записати миттєві значення напруги і струму на вході кола:
i = Iм М Sin(щ·t + цi)
и
U = Uм М Sin(щ·t + цu).
Рис.3.1. Розрахункова схема.
Дано:
Uм =100 В, цu= 10о;
R1=20 Ом, R2=25 Ом;
L1= 63,8 мГн; С1= 100 мкФ.
Рішення:
Діюче значення напруги (показання вольтметра):
U = Uм/1,41 = 100/1,41 = 70,71 В.
Миттєве значення напруги:
U = 100 М Sin(щ·t + 10о).
Опори:
XL1 = щ?L1 = 2·р? f · L1 = 2·р? 50 ·63,8?10-3 = 20 Ом.
XС1 = 1/(щ?С1) = 1/(2·р? f ·З1) = 1/(2·р? 50 ·100?10-6) = 32 Ом.
Модуль повного опору кола:
z = [(R1 + R2)2 + (XL1 - XC1)]0,5 = [452 + (-12)2]0,5 = 46,57 Ом.
Зсув фаз між струмом і напругою:
ц = arc tg (XL1- XC1)/(R1 + R2) = arc tg(-12/45) = - 14,93o.
Модуль струму в колі (показання амперметра):
I = U/z = 70,71/46,57 = 1,52 А.
Амплітудне значення струму:
Iм = I?1,41 =1,52 ? 1,41 = 2,15 А.
Початкова фаза струму:
цi = цu - ц = 10o + 14,93o = 24,93o.
Миттєве значення струму:
I = 2,15 М Sin(щ·t + 24,93о).
Активна потужність у колі (показання ватметра):
P = I2 ? (R1 + R2) = 1,522 ? (20 + 25) = 104 Вт.
Для побудови векторної діаграми (рис. 3.2) визначимо модулі спадань напруги на кожнім елементі кола.
UR1 = I?R1 = 1,52 ? 20 = 30,4 В; UL1=I ? XL1=1,52 ? 20 = 30,4 В;
UR2 = I ?R2 = 1,52 ? 25 = 38 В; UC1 = I ?XC1 = 1,52?32 =48,64 В.
Виберемо масштаби. Для струму - довільний. Для напруг - 0,5 В в 1мм. При побудові векторної діаграми враховуємо другий закон Кірхгофа:
? = ?R1 + ?L1 + ?R2 + ?C1.
Рис.3.2. Векторна діаграма
Задача 4Задано значення напруги і всіх опорів у колі (рис. 4.1). Потрібно:1. Визначити струми I1, I2, I3, напругу U2 і cosj кожної ділянки кола.2. Обчислити активну, реактивну і повну потужності всього кола.3. Побудувати в масштабі векторну топографічну діаграму струмів і напруг.Рис.4.1. Розрахункова схемаДано:вхідна напруга U=380B;опориR1=185 Ом, R3 = 210 Ом, XL1 = 203 Ом,XL3= 195 Ом,XC2 = 200 Ом.
Визначимо повні опори віток. Показник оператора в градусах.
Z1 = R1 + jXL1 = 185 + j203 = 274,65 ?e j 47,66;
Z2 = - jXC2 = - j200 = 200?e - j90;
Z3 = R3 + jXL3 = 210 + j195 = 286,57?e j 43 .
Визначимо повний опір паралельної ділянки кола.
Визначимо повний опір усього кола.
Z = Z1+ Z23 = 185 + j 203 + 186 - j 200 = 371 + j 3 ? 371.
Визначимо комплексні значення струмів за допомогою закону Ома.
Повний струмСпадання напруги на паралельній ділянці кола в комплексній формі.= 1,024 ?273?e - j 47 = 280 ?e - j 47.Струми в паралельних вітках у комплексній формі.(Перевірка правильності визначення струмів по першому закону Кірхгофа: = 1,024 - 1,024 - j0,955 + j0,955 = 0).Визначимо Cosц кожної ділянки кола.Cosц1 = R1/Z1 = 185/274,65 = 0,67; Cosц2 = R2/Z2 = 0/200 = 0;Cosц3 = R3/Z3 = 210/286 = 0,73.2. Визначимо потужності. Комплекс повної потужності всього кола.
=380?1,024 = 390.
Модуль повної потужності всього кола S = 390 (B·A).
Активна потужність усього кола Р = 390 (Вт).
Реактивна потужність усього кола Q = 0 (В?Ар).
- сполучений струм у колі (міняється знак на протилежний у показнику оператора).
3. Для побудови топографічної векторної діаграми (рис. 4.2) знайдемо спадання напруги в комплексній формі на кожнім елементі в вітках кола.
= 1,024 ?185 = 190.
= 1,024 ?195 ?e j 90= 200?e j 90.
= 280 ?e - j 47. = 0,955 ?e - j 90?210 = 200?e - j 90.
= 0,955 ?e - j 90 ?195?e j 90= 186.
Виберемо масштаби. Для векторів струмів: 0,1А - 1 см; для векторів напруг: 40В - 1 см. При побудові сполученої векторної діаграми струмів і напруг враховувати закони Кірхгофа.
Рис.4.2. Векторна діаграма
Задача 5.1
По заданих параметрах і лінійній напрузі визначити фазні і лінійні струми, активну потужність усього кола і кожної фази окремо (рис. 5.1). Побудувати топографічні векторні діаграми струмів і напруг на комплексній площині.
Рис.5.1. Розрахункова схема
Дано:
Uл =127 В;
Rав = 4 Ом;
Rвс = 8 Ом;
Rса = 6 Ом;
Xав = 3 Ом; Xав = 3 Ом;
Xвс = 4 Ом; Xса = 8 Ом.
Рішення:
Визначимо повні опори фаз у комплексному виді. Показник оператора в градусах.
Zав = Rав + j Xав = 4 + j3 = 5 ? e j 36,87.
Zвс = Rвс + j Xвс = 8 + j3 = 8,544 ? e j 20,556.
Zса = Rса + j Xса = 6 + j8 = 10 ? e j 53,13.
Представимо вектори лінійних напруг на комплексній площині, сполучивши вектор напруги ?вс із дійсною віссю комплексної площини (рис. 5.1.1), і запишемо їх у комплексному виді.
.
Рис.5.1 .1. Векторна діаграма напруг
Визначимо фазні струми за законом Ома.
Визначимо лінійні струми за допомогою першого закону Кірхгофа.
= 3,038 + j25,22 + 12,6 + j1,52 = 15,638 + j26,74 = 31 ? e j 59,7.
=13,92 - j5,22 - 3,038 - j25,22=10,882 - j30,44=32,33 ? e -j 70,33.
= -12,6 - j1,52 - 13,92 + j5,22 = - 26,52 + j3,7 = 26,78 ? e j 172.
Визначимо активні потужності у фазах.
Рав = Iав2 ? Rав = 25,42 ? 4 = 2580,64 Вт.
Рвс = Iвс2 ? Rвс = 14,862 ? 8 = 1766,66 Вт.
Рса = Iса2 ? Rса = 12,72 ? 6 = 967,74 Вт.
Визначимо активну потужність усього кола.
Рав + Рвс + Рса = 2580,64 + 1766,66 + 967,74 = 5315,04 Вт.
Для побудови векторної діаграми (рис. 5.1.2) виберемо масштаби.
МU: 3 В в 1 мм. МI: 0,5 А в 1 мм.
Рис.5.1.2. Векторна діаграма напруг і струмів
Задача 5.2
По заданих параметрах і лінійній напрузі визначити фазні і лінійні струми і струм у нейтральному проводі, активну потужність усього кола і кожної фази окремо (рис. 5.2). Побудувати топографічні векторні діаграми струмів і напруг на комплексній площині.
Рис.5.2
Дано:
Uл =254 В;
Ra = 3 Ом;
Rв = 4 Ом;
Rс = 6 Ом;
Xа = 4 Ом;
Xв = 3 Ом;
Xс = 8 Ом.
Рішення:
Визначимо повні опори фаз у комплексному виді. Показник оператора в градусах.
Zа = Rа - jXа = 3 - j4 = 5?e -j53,13.
Zв = Rв + jXв = 4 + j3 = 5 ? e j36,9. Zс = Rc + jXс = 6 + j8=10?e j53,13.
Рис.5.2.1. Векторна діаграма напруг
Представимо вектори фазних напруг на комплексній площині (рис. 5.2.1), сполучивши вектор напруги з дійсною віссю комплексної площини, і запишемо них у комплексному виді. Модуль фазної напруги
Uф = Uл/1,73 = 254/1,73 = 147 В.
= 147;
= 147? e - j120;
= 147 ? e j120.
Визначимо фазні струми за законом Ома (при з'єднанні навантаження зіркою рівні лінійним).
Визначимо струм у нульовому проводі за допомогою першого закону Кірхгофа.
=17,64 + j23,52 - 27,04 - j11,53 +5,77 + j13,52 =
= - 3,63 + j25,51 = 25,77 ? e j98,1.
Визначимо активні потужності у фазах і всьому колі.
Ра = Iа2 ? Rа = 29,42 ?3 = 2593 Вт. Рв = Iв2 ? Rв = 29,42 ?4 = 3457 Вт.
Рс = Iс2 ? Rс = 14,72 ?6 = 1297 Вт.
Р = Ра + Рв + Рс = 2593 + 3457 + 1297 = 7347 Вт.
Для побудови векторної діаграми (рис. 5.2.2) виберемо масштаби. МU: 3 В в 1 мм. МI: 0,5 А в 1 мм.
Рис. 5.2.2. Векторна діаграма напруг і струмів
Задача 5.3
По заданих параметрах і лінійній напрузі визначити фазні і лінійні струми і струм у нейтральному проводі, активну потужність усього кола і кожної фази окремо (рис. 5.3). Побудувати топографічні векторні діаграми струмів і напруг на комплексній площині.
Рис.5.3. Розрахункова схема
Дано:
Uл =220 В;
Rв = 3 Ом;
Xа = 15 Ом;
Xс = 10 Ом.
Рішення:
Визначимо повні опори в комплексному виді. Показник оператора в градусах.
Zа = jXа = j15 = 15 ? e j90. Zв = Rв = 3. Zс = - jXс = - j10 = 10 ? e - j90.
Рис.5.3.1. Векторні діаграми напруг генератора (а) і навантаження (б)
Представимо вектори фазних напруг генератора на комплексній площині (рис. 5.3.1 а), сполучивши вектор напруги генератора ?А з дійсною віссю комплексної площини, і запишемо них у комплексному виді. Модуль фазної напругиUф = Uл/1,73 = 220/1,73 = 127 В.127; 127? e - j120 = - 63,5 - j110; 127 ? e j120 = - 63,5 + j110.Визначимо зсув нейтралі.
Визначимо фазні напруги навантаження (див. рис. 5.3.1 б).
= 127 + 111,23 + j144,17=238,23 + j144,17=278,46 • е j31,18.
=- 63,5 - j110 + 111,23 + j144,17=47,73 + j34,17=58,7 • е j35,6.
=- 63,5+j110 +111,23+j144,17=47,73 + j254,17=258,6 • е j79,4.
Визначимо фазні струми за законом Ома (при з'єднанні навантаження зіркою рівні лінійним).
По першому закону Кірхгофа сума струмів у комплексному виді повинна дорівнювати нулеві.
=9,61 - j15,88 + 15,96 + j11,32 - 25,42 + j4,76=0,15 + j0,2 ? 0.
Визначимо активні потужності у фазах і всьому колі.
Ра = Iа2 ? Rа = 18,5642 ?0 = 0. Рв = Iв2 ? Rв = 19,572 ?3 = 1149 Вт.
Рс = Iс2 ? Rс = 25,862 ?0 = 0.
Р = Ра + Рв + Рс = 0 + 1149 + 0 = 1149 Вт.
Для побудови векторної діаграми виберемо масштаби. МU : 4 В в 1 мм. МI : 0,5 А в 1 мм.
Рис.5.3.2. Векторні діаграми напруг та струмів
Задача 6До лінії трифазного струму (рис. 6.1) промислової частоти з напругою 380/220В за допомогою рубильників приєднуються споживачі:а) лампи накалювання загальною потужністю Ра, Рв і Рc на напругу 220В;в) індуктивні котушки з повним опором Zав=Zвс=Zса=19(Ом) при фазному куті зрушення Дц у кожній фазі на напругу 380 В.Вважаючи рубильники Кi включеними зобразити спрощену схему, а також:1) визначити лінійні струми, споживані споживачами, включеними трикутником, накреслити векторну топографічну діаграму навантаження, з'єднаної трикутником;
2) визначити лінійні струми, споживані споживачами, включеними зіркою, накреслити векторну топографічну діаграму навантаження, з'єднаною зіркою;
3) накреслити окремо сполучену векторну топографічну діаграму. Сполучену діаграму вичертити крупно на окремому листі;
4) визначити показання амперметрів у схемі і струм нульового проводу, користуючись графічним методом (по сполученій діаграмі).
Рис. 6.1. Схема в загальному виді
Дано: включені рубильники
К1, К2, К3, К4, К5, К6;
Дц = 30о,
РА = 4400 Вт,
РВ = 2200 Вт,
РС = 4400 Вт,
f = 50 Гц.
Рішення:
Розрахункова схема представлена на рис. 6.2.
Задачу вирішуємо розрахунково-графічним методом.
Рис.6.2. Розрахункова схема
1. Модулі фазних струмів трикутника:
Iав = Iвс = Iса = Uл /Zав = 380/19 = 20 А.
Лінійні струми в комплексній формі по першому закону Кірхгофа:
Будуємо векторну діаграму (рис. 6.3), прийнявши масштаби: напруг - 44 В в 1 см; струмів - 5 А в 1 см.
Рис.6.3. Векторна діаграма напруг та струмів
Так як навантаження симетрично, то лінійні струми навантаження, з'єднаної трикутником, однакові і відповідно до масштабу:
IA? = IB? = IC? = 5 (A/см) ? 6,93 см = 36,65 А.
2. Модулі фазних (рівні лінійними при з'єднанні зіркою) струми зірки:
IAY = ICY = РА/Uф = 4400/220 = 20 А.
IВY = РВ/Uф = 2200/220 = 10 А.
Будуємо векторну діаграму в тих же масштабах (рис. 6.4).
Рис.6.4. Векторна діаграма
Струм нульового проводу: .
З діаграми відповідно до масштабу: I0 = 5(A/см)?2(см) = 10 А.
3. Будуємо сполучену векторну діаграму струмів і напруг у тих же масштабах струмів (рис. 6.5), за допомогою якої визначаємо лінійні струми всього кола (показання амперметрів і струм нульового проводу).
Відповідно до першого закону Кірхгофа в комплексній формі:
; ;
З діаграми відповідно до масштабу:
IA = 5 (A/см)• 10,5 (см) = 8,6 А;
IB = 5 (А/см) • 8,6 (см) = 43 А; IC = 5 (А/см) • 10,5 (см) = 52,5 А;
I0 = 5 (А/см) • 2 (см) = 10 А.
Рис.6.5. Сумісна векторна діаграма
ЛітератураМорозовА.Г. Электротехника, электроника и импульсная техника: Учеб. пособие для инженерно-экономических специальностей вузов. - М.: Высш.шк.1987.-448с.Электротехника. Учеб. пособие для вузов под ред. Пантюшина В.С.-М.: Высш. шк. 1985.-373с.Борисов Ю.М., Липатов Д.Н., Зорин Ю.Н. Электротехника.- М.: Энергоатомиздат,1985.-552с.Пантюшин И.С. Сборник задач по электротехнике.-М.: Высш. шк. 1973.-253с.