Определение реакции опор твёрдого тела
13
Рассчётно-графическая работа С-7
«Определение реакции опор твёрдого тела»
|
Cилы, кН | Размеры, см | |
Q | G | a | b | c | R | r | |
5 | 3 | 20 | 15 | 10 | 30 | 40 | |
|
Результаты вычислений приведены в таблице:
|
Силы, кН | |
RA | RB | xA | zA | xB | zB | |
3,56 | 3,36 | 3,53 | 0,67 | -2,41 | 2,33 | |
|
При нахождении получилось, что значение составляющей по оси отрицательно. Это значит, что при расставлении действующих на данную систему сил было выбрано неверное направление. В итоге правильное построение будет выглядеть следующим образом:
«Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям её траектории».
|
Уравнения движения | t1,c | |
x=x(t) | y=y(t) | | |
| | 2 | |
|
1. Скорость
В общем случае для пространственной системы координат будем иметь:
=>
Для нашего случая уравнения для составляющих по осям координат будут иметь следующий вид:
После дифференцирования получим:
Найдём полную скорость точки в момент времени :
2. Ускорение
В общем случае для пространственной системы координат будем иметь:
=>
Для нашего случая уравнения для составляющих по осям координат будут иметь следующий вид:
После дифференцирования получим:
Найдём полное ускорение точки в момент времени :
С другой стороны ускорение можно найти по формуле:
, где
тангенциальное ускорение (касательная составляющая полного ускорения), а нормальная составляющая полного ускорения, которые можно найти по формулам:
,
где - радиус кривизны траектории в искомой точке.
-0,0058 при =2 с.
Тогда найдётся по формуле:
Подставив значения, получим:
Найдём уравнение движения точки. Для этого выразим из второго уравнения переменную времени () и подставим полученное выражение в первое уравнение:
Получившееся уравнение () является гиперболой.
Найдём начальное положение точки. Для этого подставим в уравнения значение .
Чтобы определить в какую сторону происходит движение необходимо подставить в уравнение движения время, отличное от (например ).
движение происходит по левой ветви гиперболы в направлении, указанном на рисунке.
Расставим на графике движения векторы скорости, ускорения и векторы полной скорости и ускорения:
|
, | , | , | , | , | , | , | , | , | |
0,1875 | 3 | 3,0059 | -0,0938 | 0 | -0,0058 | 0,094 | 0,0938 | 96,12 | |
|
Дано:
m1 = m
m2 = 2m
m3 = 9m
R3 = 0,3 м
i3? = 0,2 м
? = 30
f = 0,12
? = 0,25 см
s = 1,5 м
Найти:
V1 = ?
Решение:
По теореме об изменении кинетической энергии системы:
(т.к. система состоит из абсолютно твердых тел и нерастяжимых нитей)
Кинетическая энергия системы равна:
Сумма работ внешних сил:
м/с
Интегрирование дифференциальных уравнений
Д-1 вар. 9
Лыжник
Vв
13
h
d
Дано
=15 ; ; ?=0,1 ?=0,3 ;?=45?
h=42 ?
Найти Va, Vв
Решение
mX=Xi 1 Fтр=fN
mX=Gsin-Fcoпр N=Gcos
mX=Gsin-fGcosX=gsin-fgcos
X=(g(sin-fcos) t+ C1
X=(g(sin-fcos)/2) t2+ C1t+ C2
При нормальных условиях : t=0 x=0 X=Vв X= C2=0; C1=Va X=g (sin-fcos) t+ C1 X= (g (sin-fcos)/2) t2+С1*tX=Vв X=LVв=g (sin?-?*cos?)?+Va2L= ((g(sin?-?*cos?)?)/2)? +С1*tРассмотрим движение лыжника от точки В до точки С, составим дифференциальное уравнение его движения.Mx=0 my=0Начальные условия задачи: при t=0X0=0 Y0=0X0=Vв*cos? ; Y0=Vв*sin?Интегрируем уравнения дваждыХ=C3 Y=gt+C4 2X= C3t+ C5 Y=gt /2+C4t+C6при t=0X=C3; Y0=C4X=C5; Y0=C6Получим уравнения проекций скоростей тела.X=Vв*cos? , Y=gt+Vв*sin?и уравнения его движенияX=Vв*cos?*t Y=gt /2+Vв*sin?*tУравнение траектории тела найдем , исключив параметр t из уравнения движения получим уравнение параболы.Y=gx /2(2Vв*cos?) + xtg?Y=h x=d h=tg?*d d=h/tg?Найдём Vв из уравнения 2 2 2Y=gx /2(2Vв*cos?) + xtg?Vв=18м/с и найдём VaVв=g(sin?-?*cos?)?+VaVa=11,3м/сОтвет: Va=11,3м/с Vв=18м/с
Задание Д.3Исследование колебательного движения материальной точки Дано: Найти: Уравнение движения
Решение:Применим к решению задачи дифференциальное уравнение движения точки. Совместим начало координатной системы с положением покоя груза, соответствующим статической деформации пружины, при условии что точка В занимает свое среднее положение . Направим ось вниз вдоль наклонной плоскости. Движение груза определяется по следующему дифференциальному уравнению:, где -сумма проекций на ось сил, действующих на груз.Таким образомЗдесь ,где - статическая деформация пружины под действием груза; -перемещение точки прикрепления нижнего конца пружины, происходящее по закону .Статическую деформацию пружины найдем из уравнения, соответствующего состоянию покоя груза: т.е. Откуда Дифференциальное уравнение движения груза примет вид:или после преобразования Разделив все члены уравнения на получим:Введем обозначения:Получаем, что Имеем неоднородное уравнение, где - общее решение, соответствующего однородного уравнения; - частное решение данного неоднородного уравнения.Общее решение однородного уравнения имеет вид:Частное решение неоднородного уравнения:Общий интегралДля определения постоянных интегрирования найдем, кроме ого, уравнение для : и используем начальные условия задачи.Рассматриваемое движение начинается в момент , когда деформация пружины является статической деформацией под действием груза.Таким образом, при Составим уравнения и для :Откуда Тогда уравнение движения груза примет вид:
Ответ: Применение теоремы об изменении количества движения к исследованию движения механической системы.Дано:
Найти: Скорость .
Решение:На механическую систему действуют внешние силы: - сила сухого трения в опоре А; - силы тяжести тел 1, 2 и 3; -сила нормальной реакции в точке А; -реактивный момент в опоре В.Применим теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме. В проекциях на оси координат, (1)где - проекции вектора количества движения системы на оси координат; - суммы проекций внешних сил на соответствующие оси.Количество движения системы тел 1, 2 и 3 (2)где . (3)Здесь - скорости центров масс тел 1, 2, 3; - соответственно переносные и относительные скорости центров масс.Очевидно, что (4)Проецируя обе части векторного равенства (2) на координатные оси, получаем с учетом (3) и (4) (5)где - проекция вектора на ось ;Проекция главного вектора внешних сил на координатные оси (6)Знак « - » соответствует случаю, когда , а знак «+» - случаю, когда .Подставляя (5) и (6) в (1), получим (7)Выразим из второго уравнения системы (7) величину нормальной реакции и подставим ее в первое уравнение. В результате получим при ; (8) при . (9)где Рассмотрим промежуток времени , в течении которого тело 1 движется вправо . Из (8) следует, что,где С- постоянная интегрирования, определяемая из начального условия: при .При скорость тела 1 обращается в ноль, поэтому .Найдем значения и : Т.е. , . Значит, тело при начинает двигаться в обратном направлении. Это движение описывается дифференциальным уравнением (9) при начальном условии: ; (10)Интегрируя (9) с учетом (10), получим, при (11)При получим из (11) искомое значение скорости тела 1 в момент, когда .
Точное решение задачи. Воспользовавшись методикой, изложенной выше, получим дифференциальное уравнение движения тела 1: при (12); при , (13)где Из (12) и учитывая, что получаем, при откуда или Из (13) и учитывая, что получаем, при При находим
Ответ:
.