Определение моментов инерции тел методом трифилярного подвеса

Министерство образования РФ

Рязанская государственная радиотехническая академия

Кафедра ОиЭФ

«Определение моментов инерции тел методом трифилярного подвеса»

Рязань 2008

Введение

Цель работы: определить момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр его масс, экспериментально проверить аддитивность момента инерции и теорему Штейнера.

Приборы и принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, штангенциркуль, линейка набор тел.

Элементы теории

Момент инерции тела является мерой его инерции при вращательном движении и зависит не только от массы данного тела, но и от распределения данной массы относительно оси вращения.

Момент инерции материальной тачки (I) относительно некоторой оси равен:

I = mr2,

где m - масса материальной точки; r - расстояние от точки до оси вращения.

В силу аддитивности момента инерции можно записать выражение:

,

где Ik - момент инерции k-ой части вращающейся системы; N - число частей во вращающейся системе.

Для протяженных тел момент инерции определяется, как сумма моментов инерции отдельных элементарных объёмов (dV), на которые можно разбить данное тело и которые можно считать материальными точками:

,

где dm = dV - масса элементарного объёма; - плотность тела в данной точке. Для однородных тел, у которых - const:

.

Так, момент инерции однородного круглого пустотелого цилиндра или диска массой m с внутренним радиусом R2 относительно оси, совпадающей сего геометрической осью, рассчитанный с помощью формулы (4), равен:

.

Тогда:

для сплошного цилиндра, у которого R1 = 0, R2 = R.

;

для тонкого кольца, у которого R1 = R2 = R

I = mR2.

Согласно определению момента инерции одно и то же тело относительно разных осей обладает различными моментами инерции, которые могут быть найдены по теореме Штейнера:

8) I = I0 + ma2,

где I0 -момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела; I - момент инерции того же тела относительно оси, параллельной предыдущей и смещённой на расстояние a от неё; m - масса тела.

В данной работе требуется определить момент инерции ненагруженной платформы и платформы с исследуемыми телами, что позволяет найти момент инерции самих тел и провести проверку аддитивности момента инерции, а так же убедиться в справедливости теоремы Штейнера. Для этого в ней используется метод трифилярного подвеса.

После однократного выведения данной системы (подвеса или подвеса с грузом) из положения устойчивого равновесия, поворотом на некоторый угол , система начинает совершать произвольные колебания, период которых зависит момента инерции системы, а следовательно и от её массы. Таким образом полную механическую энергию данной системы (E) в произвольный момент времени t (и пренебрегая трением) можно записать так:

9) ,

где J - момент инерции системы, состоящей из платформы и установленного на ней исследуемого твёрдого тела; = d / dt - угловая скорость системы при повороте её на угол ; M - масса системы (платформы с грузом или без оного). В формуле (9) - кинетическая энергия вращательного движения системы, - потенциальная энергия системы. При (z - z0) - есть небольшая высота, на которую приподнимается система при вращении в силу перекоса нитей на которых смонтирован трифилярный подвес (z0 - высота покоящейся платформы; z - высота платформы, совершающей крутильные колебания, в произвольный момент времени).

В предоставленном после этого самому себе устройстве начнут совершаться крутильные колебания, период которых зависит от момента инерции подвешенной системы. Момент инерции, а следовательно, и период колебаний будут меняться, если платформу нагружать какими-либо телами.

Координаты точки А1 верхнего диска в системе координат, указанной на рисунке, равны: х1=r; y1 = 0; z1 = 0. Координаты же точки А крепления нижней платформы к нити подвеса в момент времени, когда платформа повернулась на малый угол , равны, соответственно,

10) x = Rcos(); у = Rsin(); z = z.

Расстояние между точками А и А1 равно длине нити подвеса (l), и поскольку при колебаниях платформы длина нитей не меняется, то в любой момент времени справедливо соотношение:

.

С учетом указанных выше координат точек А и А1 на основании (11) можно написать для произвольного значения угла а поворота следующее выражение:

12) .

Если = 0, то

13) .

Здесь x = R; у = 0; z = z0 - координаты точки А нижней платформы в момент времени, когда = 0. Приравнивая выражения (12) и (13) и раскрывая скобки, получаем:

14)

Так как угол мал, то для него можно использовать следующие соотношения:

15) sin() ;

16)

Используя их, из (14) для малых углов получаем:

17) .

Учитывая соотношение (14), получаем:

18) ;

или

19) .

Подставив в (9) найденное значение (z0-z), имеем

20) ;

или

21) .

Дифференцируя выражение (21) по времени и учитывая, что полная энергия системы Е с течением времени не меняется, получаем:

22) .

Из последнего выражения следует:

23) .

Обозначив

24) ,

получим

25) .

Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Решение уравнения (25) можно записать в виде:

26) ,

где 0 - амплитуда колебания; 0 - циклическая частота колебаний.

Период колебаний равен:

27) .

Решив последнее уравнение относительно J, получим расчетную формулу:

28) .

На основании (28) по известным параметрам установки (R, r, z0, М) и измеренному на опыте периоду колебаний можно определить момент инерции системы.

Расчётная часть

R = 12,410-2 м.; R1 = 54,2510-3 м.;

R2 = 4910-3 м.; r = 3,210-2 м.;

L = 19210-2 м.; mпл = 37310-3 м.;

R 0; R1 0;

R2 0; r 0;

L 0; mпл 0;

mтела = 18710-3 кг.; mтела 0;

№ п/п	1) Определение J платформы	2) Определение J тела	3) Проверка аддитивности момента инерции	4) Проверка теорема Штейнера
	N	t, с	t, с	n	t, с	t, с	n	t, с	t, с	n	t, с	t, с
1	15	69	1,9910-4	15	59	1,9910-4	15	52	1,9910-4	15	59	1,9910-4
2		66			61			54			60
3		70			59			53			58
Ср. Знач.		68,33			59,67			53			59

Вначале определим периоды Ti колебаний системы во всех случаях снятия показаний (см. таблицу).

Ti = tср/n; 1) c. 2)

c. 3) c. 4) c.

Используя измерения снятые в 1-ом случае, по формуле (28) рассчитаем момент инерции ненагруженной платформы Jпл:

кгм2.

Вычислим значение абсолютной погрешности Jпл:

Jпл = Jпл tст; где tст = 1,95 при P = 0.95

;

;

Полагая, что значения среднеквадратичных погрешностей m, R, r и L пренебрежимо малы (в силу приведения их значений по умолчанию), формулу для вычисления Jпл можно свести к формуле:

.

В свою очередь t найдём следующим способом:

; ;

; при k = 1,1 (для P = 95) и c = 1 с.

 с.

Тогда Jпл принимает значение:

кгм2.

Теперь найдём момент инерции системы (J платформы с грузом) для 2-ого случая.

кгм2.

Далее найдём момент инерции тела (Jт) исходя из аддитивности момента инерции по формуле:

Jт = J - Jпл;

Jт = (4,55 - 3,97)10-3 = 5,810-4 кгм2.

Найдём момент инерции того же тела через его массу и размеры (по формуле (5)):

кгм2.

Вычислим суммарный момент инерции системы для 3-его случая.

кгм2.

Для проверки аддитивности момента инерции надо убедиться в верности соотношения (2).

I = J + Jт = Jпл + 2Jт;

(45,5 +5,8)10-4 = (39,7 + 25,8)10-4 (47,8 1,99)10-4 кгм2.

Остаётся проверить теорему Штейнера с использованием результатов измерений в 4-ом случае.

Определим момент инерции всей системы по формуле (28):

кгм2.

Теперь рассчитаем момент инерции тела по приведённой ниже формуле.

Jт = (J - Jпл)/2;

Jт = 10-3(5,92 - 3,97)/2 = 0,9710-3 кгм2.

Найдём момент инерции тела через выражение (8), при a = м.

0,5810-3 + 18710-3