Кристаллографические символы
4
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫЦель работы: 1) Знакомство с системой обозначения граней и направлений;2) Определение индексов граней и ребер кристаллов;
3) Решение некоторых типичных кристаллографических задач с использованием условия зональности.
Важнейшее значение в кристаллографии имеет вопрос об аналитической записи взаимного расположения граней и ребер кристалла в пространстве. С этой целью применяют кристаллографические символы, определяющие положение любой грани и ребра кристалла относительно принятых координатных осей.
Символы гранейПоложение грани кристалла можно описать с помощью трех отрезков, отсекаемых этой гранью на координатных осях. Кристаллографическую систему характеризуют геометрические константы кристалл: осевые углы (, , ) и осевые единицы (
a0, b0, c0). Осевыми единицами называют отрезки
a0, b0, c0 , отсекаемые единичной гранью на координатных осях
x,y,z соответственно. В соответствии с симметрией кристалла масштаб измерения отрезков, отсекаемых гранью на осях, определяется для каждой сингонии соотношением между осевыми единицами (табл. 1).Таблица 1.
|
Сингония | Угловые соотношения | Осевые единицы | |
Кубическая | ===90 | a0=b0=c0 | |
Тетрагональная | ===90 | a0=b0c0 | |
Ромбическая | ===90 | a0b0c0 | |
Моноклинная | ==90 | a0b0c0 | |
Триклинная | 90 | a0b0c0 | |
Гексагональная | ==90, =120 | a0=b0c0 | |
|
В методе параметров (метод Вейса) для определения грани используется тройка безразмерных векторов
a, b, c, соответствующих отрезкам, отсекаемым гранью на координатных осях и измеренных с помощью осевых единиц
a0, b0, c0 (рис. 1)
a=OA/a0, b=OB/b0, c=OC/c0.Для выбора масштаба измерения, после установки кристалла, среди его наиболее развитых граней находят такую, которая пересекает все три оси. Отрезки, отсекаемые такой гранью кристалла, принимают за единичные, а саму грань - за единичную. Её параметры: (1:1:1). Чтобы определить параметры любой другой грани кристалла, необходимо найти соотношение отрезков, отсекаемых ею на координатных осях и отнесенных к соответствующим единичным отрезкам
a0, b0, c0. Такое обозначение граней с помощью параметров имеет один существенный недостаток: неудобство обозначения граней, параллельных координатным осям. Например, грань, параллельная плоскости XOY, запишется как (::1), поскольку такая грань пересекает лишь ось Z. Между тем, грани параллельные координатным осям, представляют для кристаллографии особый интерес.В методе индексов (метод Миллера) положение любой грани кристаллов в трехосной системе координат определяется тройкой целых, как правило, небольших, взаимно-простых чисел - индексов
h, k, l, представляющих собой отношение обратных величин параметров. Тогда грань, параллельная плоскости XOY будет иметь индексы h:k:l=1/:1/:1/1=0:0:1. Индексы грани заключают в круглые скобки, не разделяя их друг от друга никакими знаками. Следовательно, рассмотренная выше грань имеет символ (001).В кристаллографической практике метод индексов Миллера получил широкое распространение. Следует иметь в виду, что параллельные грани имеют один и тот же символ, соответствующий грани ближайшей к началу координат. Благодаря высокой симметрии кубических кристаллов, их индицирование (определение индексов всех граней) осуществляется достаточно просто. Единичная грань кубического кристалла должна составлять с координатными осями равные углы и отсекать на них равные отрезки. Легко видеть, что такой гранью может быть выбрана грань октаэдра или тетраэдра, через которую проходит поворотная ось третьего порядка.
Символы реберЛюбое направление (ребро кристалла) в данной системе координат может быть задано: 1) двумя точками, лежащими на заданном направлении, не проходящим через начало координат; 2) одной точкой, если направление проходит через эту точку и начало координат.Если осевые единицы единичной грани равны
a0, b0, c0 , а точки А (
x1, y1, z1) и В (
x2, y2, z2) лежат на заданном направлении, то проекции отрезка АВ будут равны:
(AB)x=x2-x1, (AB)y=y2-y1, (AB)z=z2-z1.Тогда символ направления [r s t] определится как.Таким образом, заданное направление определяется отношением трех проекций отрезка, лежащем на этом направлении, к соответствующим осевым единицам и выражается с помощью целых взаимно простых чисел
r, s, t, записываемых в квадратных скобках [r s t]. В случае, когда заданное направление проходит через точку А [[000]] начала координат и точку В [[x y z]] можно записать.Из приведенного выше правила определения символов ребер следует, что если данный отрезок АВ или данное направление перемещать в пространстве параллельно самому себе, то его символ не изменится.Заданное направление может быть определено и с помощью углов
, , , которые оно образует с координатными осями
x, y, z. Для отрезка АВ, лежащего на заданном направлении, можно записать:.В кубических кристаллах:.Несложные геометрические рассмотрения показывают, что для кубических кристаллов отношение направляющих косинусов нормали к грани
(h k l) пропорционально отношению индексов:,отсюда: .Таким образом, при индицировании направлений в кубических кристаллах следует помнить, что символы направления и перпендикулярной ему грани обозначаются одинаковыми индексами. Например, направление [111] перпендикулярно грани (111), а направление [110] - грани (110).
Основные кристаллографические соотношенияУгол между двумя направлениями.Чтобы найти угол между двумя направлениями [r1, s1, t1], [r2, s2, t2] необходимо вспомнить одно из правил аналитической геометрии о нахождении скалярного произведения двух векторов . .Если .(Здесь - тройка единичных векторов координатной системы), то для прямоугольной системы координат имеем:,.Откуда.2)
Угол между направлением и плоскостьюУчитывая, что для кубических кристаллов перпендикуляры к плоскостям (h k l) изображаются как [
h k l], легко найти угол между таким перпендикуляром и заданным направлением [
r s t].Исходный угол будет дополнительным к 90, т.е. =(90-) и определится как .3) Условие зональности.Кристаллографической зоной называется совокупность граней кристалла, параллельных одному направлению, называемому осью зоны. Чтобы какая-либо плоскость (h k l) принадлежала зоне, ось которой [r s t] , необходимо, чтобы направление, параллельное оси зоны, лежало в этой плоскости. Следовательно, косинус угла между перпендикуляром к заданной плоскости (h k l) и осью зоны [r s t] должен быть равен нулю. При этом условие зональности для кубических кристаллов может быть записано как.Используя условие зональности, легко определить символ ребра [
r s t] , образованного двумя гранями (
h1 k1 l1) и (
h2 k2 l2) из совместного решения уравнений: .Решение данной системы уравнений можно представить в виде: Рассмотренную задачу можно назвать нахождением символа зоны по символам граней кристалла.Аналогичным образом решается задача о нахождении символа грани (
h k l), в которой лежат два заданных направления [
r1 s1 t1] и [
r2 s2 t2]. В этом случае решение системы уравненийДает индексы искомой грани (
h k l).
4) Межплоскостное расстояние и индексы плоскости.При расчете рентгенограмм необходимо знать связь межплоскостного расстояния d с индексами (h k l) , отражающего семейства плоскостей. геометрическое рассмотрение для ортогональной системы координат дает следующие зависимости: - для ромбической сингонии; - для тетрагональной сингонии; - для кубической сингонии.
План работыПроизвести индицирование всех граней и ребер заданных кристаллов.Найти угол между двумя заданными направлениями в кристаллах кубической,. тетрагональной и ромбической сингоний при известных параметрах решетки.Определить угол между двумя заданными плоскостями, направлением и плоскостью в кубических кристаллах.Найти символ зоны по известным символам граней. Найти символ грани, в которой лежат два заданных направления. Определить межплоскостные расстояния для заданного семейства атомных плоскостей по известным параметрам решетки в ряде кристаллов разных сингоний.
Контрольные вопросыВ чем сущность метода индексов?Какие индексы имеют параллельные грани и ребра кристалла?Как выбирается единичная грань в кубических кристаллах?В чем состоит особенность индицирования направлений в кубических кристаллах?Что физически собой представляет условие зональности?