Динамика частиц

Несвободной называется материальная точка, на движение которой (координаты и скорость) наложены некоторые ограничения. Всякий механизм является примером несвободной системы материальных точек.

Связями называются ограничения движений материальных точек, не зависящие от начальных условий движения и системы приложенных сил. Связи делятся на двухсторонние и односторонние ( 1.физический маятник из твердого стержня; 2.математический маятник на нити).

Связи бывают голономные (интегрируемые) и неголономные (они накладывают ограничения на скорость точек, неинтегрируемые).

Связи, ограничивающие перемещения материальных точек, действуют на эти точки посредством сил, называемых силами реакции связей.

В задачах динамики несвободной материальной точки пользуются принципом освобождения от связей. Отбрасывая мысленно связи, включают силы реакций связей в число задаваемых сил. При этом несвободная материальная точка рассматривается как свободная, движущаяся под действием задаваемых сил и сил реакций связей.

Центром масс (или центром инерции) механической системы называется воображаемая точка, которой приписывается масса всей системы и положение которой определяется радиусом-вектором:

(*)

Скорость и ускорение центра масс (ЦМ) можно получить дифференцированием предыдущей формулы по времени.

Импульсом механической системы называется сумма импульсов точек системы:

Из (*) следует, что (**)

Определим уравнения движения центра масс. Из (**) следует:

где по третьему закону Ньютона.

Итак,

Отсюда получаем закон изменения импульса системы:

По аналогии со случаем одной частицы, можно утверждать, что если проекция силы не некоторую неподвижную ось в любой момент времени равна нулю, то проекция импульса системы или проекция скорости центра масс системы на ту же ось сохраняется. Следовательно, в направлении этой оси центр масс движется равномерно.

В случае изолированной (замкнутой) системы материальных точек =0 (по определению). Отсюда следует, что

Мы получили закон сохранения импульса замкнутой системы.

Центр масс замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно, и внутренние силы не могут изменить скорости (импульса) системы.

Уравнение движения каждой материальной точки системы умножим слева векторно на радиус- вектор этой точки . Учитывая определения момента импульса и момента силы , получаем:

,

где называется кинетическим моментом системы;

Учитывая 3-й закон Ньютона, имеем:
Таким образом, получаем:

Закон изменения кинетического момента системы читается так:

Производная по времени кинетического момента системы равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему.

Если При помощи секторной скорости это же запишется так:

В случае замкнутой системы Мы получили закон сохранения кинетического момента замкнутой системы. Под действием внутренних сил кинетический момент замкнутой системы не изменяется.

Закон сохранения и превращения механической энергии системы частиц

Умножим уравнение движения материальной точки системы на ее элементарное перемещение , учтем деление сил на внутренние и внешние. Тогда изменение кинетической энергии частицы произойдет за счет работы как внутренних, так и внешних сил:

Для всех частиц системы ( в силу аддитивности энергии и работы):

Дифференциал (изменение) кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ внутренних и внешних сил, действующих на частицы системы.

Представим потенциальную энергию системы в виде слагаемых:

где первое слагаемое обусловлено взаимодействием частиц системы между собой, а второе слагаемое -потенциальная энергия частиц во внешнем поле.

Полная механическая энергия системы равна:

E=T+U.

В случае, когда частицы системы находятся в поле потенциальных сил, явно не зависящих от времени dU/dt=0.

С учетом этого условия, после умножения каждого уравнения движения каждой материальной точки системы на ее скорость и суммируя все эти уравнения, получим:

Это уравнение утверждает, что в замкнутой системе материальных точек, находящихся в стационарном потенциальном поле, в процессе движения сохраняется скалярная величина :

Такие системы называются консервативными.

Закон сохранения и превращения механической энергии является частным случаем всеобщего закона природы - закона сохранения и превращения энергии (ЗСПЭ).

Итак, мы имеем 7 уравнений, выражающих законы сохранения и изменения в механической системе:

При определенных условиях они приводят к законам сохранения. В случае замкнутой системы при отсутствии внутренних превращений механической энергии в другие виды энергии, законы сохранения дают 7 первых интегралов и 3 вторых интегралов движения:

т.е. десять классических интегралов механики.

Все законы сохранения были получены из уравнений движения Ньютона. Поэтому они связаны со свойствами пространства и времени, которые постулируются в классической механике.

Сохранение импульса связано с однородностью пространства, в силу которой механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого.

Сохранение момента связано с изотропией пространства, в силу которой механические свойства замкнутой системы не изменяются при любом повороте системы как целого.

Сохранение механической энергии связано с однородностью времени, в силу которой механические свойства замкнутой системы не меняются при любом «переносе» системы во времени.

Теорема Кёнига

Эта теорема утверждает, что кинетическая энергия механической системы может быть представлена в виде суммы двух слагаемых: кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии движения частиц относительно ее центра масс, т.е.

(*)

Для доказательства этого утверждения воспользуемся известным соотношением (классическая теорема сложения скоростей):

Подставим это соотношение в формулу, определяющую кинетическую энергию системы:

Учитывая, что в СО «Центр масс» суммарный импульс (последнее слагаемое в предыдущей формуле) равен нулю, тотчас же получаем искомое выражение (*).

С помощью теоремы Кёнига полную механическую энергию системы материальных точек можно записать так:

где - внутренняя энергия системы.