Вступ до фінансової математики

Міністерство освіти і науки України

Ніжинський державний педагогічний університет

імені Миколи Гоголя

О.І. ПОНОМАРЕНКО

ВСТУП ДО ФІНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ

НІЖИН

2003

ББК 1.65

М 48

Рекомендовано до публікації

Рецензенти: доц. Кладинога В.С., доц. Ковальчук Ю.О.

Оригінал-макет: Посашков С. В., Шуренков Г. В.

Пономаренко О.І.

Вступ до фінансової математики. Ніжин, 2003, с.80.

Навчальний посібник присвячений викладанню основ сучасної фінансової математики. Даються базові відомості з фінансової системи економіки, функціювання фінансових ринків і фінансових інституцій, висвітлюються моделі математики простих і складних процентів, стохастичний аналіз портфелю цінних паперів, моделі САРМ і АРТ, питання моделювання динаміки цін фінансових активів, аналіз ціноутворення деривативів; фундаментальний та технічний аналіз фінансових ринків. Поряд з традиційними розділами фінансової математики наводяться й інноваційні результати.

Посібник розрахований на студентів математичних спеціальностей, вузів та студентів, що спеціалізуються з економічної кібернетики, а також актуаріїв та фінансових аналітиків.

Посібник підготовлено за підтримкою програми TEMPUS-TACIS, проект N 22012-2001.

ББК 1.65

© О. І. Пономаренко, 2003

Зміст

Передмова

Глава 1. Сфера фінансів та фінансової математики

1.1 Фінансова система економіки та її структура

1.2 Гроші й ціни як основа функціонування системи фінансів

1.3 Фінансові інституції та їхня діяльність

1.4 Функціювання фінансових ринків

1.5 Предмет, методи, принципи й моделі фінансової математики

Глава 2. Математика простих і складних процентів

2.1 Базові моделі нарахування процентів

2.2 Застосовування простих процентів

2.3 Основні поняття й формули, пов'язані із застосуванням базових схем складних процентів

2.4 Неперервне нарахування процентів і неперервне дисконтування

Глава 3. Потоки платежів, ренти, ануїтети та планування капітальних інвестицій

3.1 Потоки платежів та їхня класифікація

3.2 Постійні ренти пренумерандо та постнумерандо. Довічні ренти

3.3 Відстрочені, - кратні та неперервні ренти. Найпростіші зміни ренти

3.4 Задача оцінки інвестиційних і комерційних проектів. Узагальнені моделі потоків платежів

3.5 Внутрішня норма доходності інвестиційного проекту

3.6 Термін окупності капіталовкладень, індекс рентабельності інвестиційного проекту

Глава 4. Проблеми оцінювання цінних паперів й моделювання динаміки їх вартостей

4.1 Цінні папери. Оцінювання акцій і парадокс Модільяні-Міллера

4.2 Проблема прогнозування динаміки цін цінних паперів. Фінансова інженерія, технічний і фундаментальний аналіз

Глава 5. Стохастичний аналіз портфельних інвестицій. Теорії портфелю Марковітца і Тобіна. Моделі САРМ і АРТ

5.1 Портфель цінних паперів та його характеристики

5.2 Задача формування портфелю ЦП Марковіца і Тобіна

5.3 Ризик портфелю і внесок кожного активу в сподівану ефективність портфелю

5.4 Статистика ринку цінних паперів

5.5 Практичні застосування портфельного аналізу

5.6 Рівновага на конкурентному фондовому ринку. Модель ціноутворення капіталовкла день САРМ

5.7 Арбітражна теорія ціноутворення капіталовкладень АРТ

Глава 6. Загальний стохастичний аналіз платіжних зобов'язань. Моделі ціноутворення для опціонів

6.1 Загальні принципи аналізу платіжних зобов'язань

6.2 Модель Башельє ціни опціону колл європейського типу

6.3 Модель Блека-Шоулса вартості опціону покупця європейського типу

6.4 Модель Кокса-Росса-Рубінштейна

6.5 Платіжні зобов'язання на неповних ринках

Література

Передмова

Фінансова математика є новою навчальною дисципліною для студентів математичних спеціальностей вузів, що почалася вводитися у відповідні навчальні плани протягом останнього десятиліття, разом з такими дисциплінами як математична економіка та актуарна (страхова) математика. Всі перераховані напрями сучасної прикладної математики є добре розвинутими, самостійними науковими теоріями, багатими на оригінальні моделі, методи та серйозні аналітичні результати, що сприяли становленню й розвитку багатьох сучасних розділів математичної науки. Введення таких навчальних дисциплін в учбові програми математичних спеціальностей вузів значно збагачує рівень знань і фахової підготовки, урізноманітнює навчальні програми, де раніше галузями застосування математичних методів і моделей вважалися тільки природничі науки і, в першу чергу, механіка, астрономія і фізика. Крім того, подібної трансформації математичної освіти вимагають і процеси соціально-економічної трансформації суспільства, що виражаються у переході до ринкової економіки і так званого “відкритого суспільства”. В цих умовах фахівці-математики повинні бути готовими до прикладних досліджень в економічно-фінансовій сфері та суміжних галузях соціогуманітарних дисциплін, а також до викладення аналітичних результатів економіки, фінансів, елементів теорії ризику й страхування у різноманітних навчальних закладах від середніх до вищих.

Але слід зауважити, що й досі залишається дуже гострою проблема наявності сучасних підручників і посібників з таких тісно взаємопов'язаних дисциплін як фінансова і актуарна математики, призначених саме для математичних спеціальностей вузів. В даному посібнику відображений досвід викладення фінансової математики, набутий на механіко-математичному факультеті Київського університету та фізико-математичному факультеті Ніжинського державного педагогічного університету імені Миколи Гоголя.

На закінчення передмови слід звернути увагу майбутніх математиків ще й на той факт, що в сучасному світі (особливо у високо розвинутих країнах) вже давно діють нові математичні професії - фінансових аналітиків і актуаріїв (фахівців зі страхової математики у її зв'язку з фінансовою математикою), які є дуже престижними і значущими. Становлення подібних професій починається і в країнах бувшого СРСР, зокрема в Росії і на Україні. Фахове володіння методами й моделями фінансової математики (включаючи її сучасні розділи зі стохастичними моделями, теорії ризику тощо) є головним ядром вказаних нових математичних професій. В більшості країн Європи діють національні товариства фінансових аналітиків,(об'єднані в Європейську Федерацію Товариств Фінансових Аналітиків - EFFAS), які займаються гармонізацією й офіційним визначенням професійної компетентності аналітиків, встановлюють навчальні програми, стандарти професійної поведінки й етичні норми для аналітиків, розвивають нові методики фінансового аналізу, приймають офіційні іспити на звання сертифікованого Європейського Фінансового Аналітика (CEFA - Certified European Finance Analyst). Сертифіковані аналітики працюють у різноманітних фінансових інституціях: інвестиційних компаніях і фондах, банках, фондових біржах, пенсійних фондах, страхових компаніях тощо.

Глава 1. Сфера фінансів та фінансової математики

1.1 Фінансова система економіки та її структура

Категорія фінансів є однією з основних в сучасній економічній науці. Вона пройшла тривалий розвиток і має складний характер. Сам термін фінанси пов'язується з латинським словом financia, що означало готівку або дохід, та похідним від нього французьким словом finance, що позначало грошові кошти. В сучасному розумінні фінанси охоплюють сукупність всіх грошових коштів й засобів, які знаходяться у розпорядженні економічних суб'єктів, та сукупність відповідних економічних відносин, пов'язаних з їхнім формуванням, розподілом та використанням. Грошові кошти в економіці виступають у формі централізованих та децентралізованих фондів грошових ресурсів (фінансових активів). Суб'єктами фінансових відносин виступають підприємства (фірми), громадські організації, державні установи, вся держава й населення країни, тобто всі юридичні й фізичні особи суспільства. Взаємодія суб'єктів фінансів здійснюється в процесі формування й використання виробничих, інвестиційних, соціальних, страхових, державних та інших фондів. Фінанси обслуговують кругообіг та обіг виробничих фондів у грошовій, виробничій і товарній формах, а також охоплюють широкий спектр податкових платежів населення, позики, лотереї, вклади у фінансово-юридичні установи тощо.

Фінанси функціонують через фінансову систему, що складається з різноманітних фінансових інституцій суспільства, форм організації фінансових відносин між ними, включаючи грошові відносини між державою і підприємствами, між підприємствами, організаціями та їх об'єднаннями, відносини держави, підприємств і організацій з населенням (домогосподарствами). Важливими елементами фінансової системи є Міністерство фінансів країни, Нацбанк, їхні органи на місцях, податкові та митні служби, банківський та страховий сектори економіки (комерційні банки й страхові компанії), фондові й валютні біржі, пенсійні та інвестиційні фонди та інші фінансові фірми та організації.

Звичайно фінансову систему країни поділяють на три підсистеми: 1) фінанси підприємств, організацій і закладів; 2) державні фінанси; 3) фінанси населення.

Фінанси підприємств і організацій - це система грошово-економічних відносин, яка пов'язана з формуванням, розподілом й використанням доходів і нагромаджень, утворенням і використанням фондів коштів, за допомогою яких забезпечуються господарська діяльність, виробничі та соціальні потреби суспільства, а також їхній розвиток. Фінанси підприємств і організацій поділяються на фінанси комерційних та некомерційних інституцій. Серед перших розрізняють фінансові фірми, що займаються фінансовим посередництвом й фінансовими послугами, страхові організації та нефінансові комерційні підприємства.

Фінанси держави складаються з системи грошових фондів, що формуються державними установами і спрямовуються на фінансове забезпечення державних функцій: управління, регулювання, контроль, забезпечення правопорядку, оборону, соціальні гарантії, охорону навколишнього середовища тощо. Державні фінанси включають кошти державного бюджету, позабюджетні фонди і фонди державного кредиту.

Фінанси населення є грошовими фондами, які утворюються у жителів країни з надходжень й фінансових активів отриманих від трудової, господарської та інших видів діяльності, що спрямовуються на споживання, відновлення людських ресурсів, заощадження, примноження власності та підвищення добробуту фізичних осіб.

Важливою складовою фінансової системи є загальний фінансовий ринок, що складається з різноманітних каналів циркулювання грошових коштів та фінансових послуг, включаючи: 1) канали прямого фінансування, за яким кошти пересуваються безпосередньо від власників заощаджень до позичальників та користувачів шляхом продажу цінних паперів, надання субсидій, грантів тощо; 2) канали непрямого фінансування, за якими потоки грошових коштів від власників до позичальників спрямовуються через фінансових посередників.

1.2 Гроші й ціни як основа функціонування системи фінансів

Основою побудови фінансової системи є гроші. Гроші в економіці виступають як специфічний товар, що є загальним еквівалентом всіх інших товарів та виконує в ній функції засобу обігу (купівлі й продажу товарів), засобу накопичення цінностей та міри вартостей.

Існують різні типи грошей: повноцінні (металеві гроші з благородних металів), паперові (найпоширеніший платіжний засіб), кредитні (безготівкові гроші банківських розрахунків, чекові депозити, електронні кредитні картки тощо). Як всякий товар гроші характеризуються обсягами попиту й пропозиції, вартістю на внутрішньому й зовнішньому ринках. Кількісні теорії грошей намагаються дати моделі залежності між попитом на гроші, грошовою масою в обігу та рядом інших макроекономічних показників. Так, наприклад, у трансакційній теорії грошей І.Фішера, основною залежністю є рівняння обігу грошей MV=PY, де M - маса грошей в обігу, V - швидкість обігу, P - середній індекс цін в економіці та Y - сукупна пропозиція виробничих благ за певний період часу ( наприклад, квартал, рік). Ліва частина рівності характеризує рівноважну пропозицію грошей, а права - відповідний попит на гроші.

Звичайно в державі обсяг пропозиції грошей регулює Нацбанк, до задач якого входить підтримка довіри населення до національних грошей, особливо кредитних. Важливість грошей полягає не тільки у спрощенні обміну товарів й послуг в економіці. Змінюючи пропозицію грошей держава може впливати на загальний рівень економічної активності та темпи зміни інфляції (знецінювання грошей або відповідного зростання середніх індексів цін). За допомогою статистичних індексів можливо визначити, як зросли ціни на товари й послуги за певний період часу або як співвідносяться між собою реальні доходи (виражені через їх купівельну спроможність) отримані в різних місцях або в різні моменти часу. Порівняння ж номінальних величин не дає вірної оцінки, бо не враховує, що купівельна спроможність (цінність) грошей в різні моменти і в різних місцях - різна. Найчастіше застосовують індекс середнього рівня цін поточного періоду

де - кількість товарів, - номер товару, - ціна - го товару в поточний період, - ціна - го товару в базовий період, - кількісні показники товарів в базовому періоді. Так розраховують індекси споживчих цін (тоді - споживчий кошик базового періоду) та індекси цін виробників товарів.

Монетаристи переконані, що зміна обсягу (пропозиції грошей) прямо впливає на економіку та рівень цін. Кейнсіанці вважають, що грошово-кредитна політика впливає на економіку через механізм зміни процентних ставок і через вплив на готовність й спроможність населення до заощаджень та інвестицій через використання фінансово-кредитних установ.

1.3 Фінансові інституції та їхня діяльність

В кожний період часу бюджет будь-якої економічної одиниці (агента) може знаходитися в одному з трьох станів: 1) збалансованості (рівності доходів і планових видатків); 2) профіциту (доходи перевищують видатки); 3) дефіциту (видатки перевищують доходи). Основною задачею фінансової системи в економіці є якнайбільш ефективне переміщення коштів від одиниць з профіцітним бюджетом (ОПБ) до одиниць з дефіцитним бюджетом (ОДБ). До ОДБ відносяться частина домогосподарств, деякі державні установи, уряд та значна частина фірм. Інші економічні суб'єкти можливо віднести до ОПБ. В цілому переважно фірми і державні установи належать до ОДБ, а домогосподарства до ОПБ.

Пересування коштів від ОПБ до ОДБ здійснюється через: 1) пряме фінансування (при якому ОДБ в обмін на фінансові зобов'язання отримують гроші прямо від ОПБ ); 2) шляхом непрямого (опосередкованого) фінансування .

Функцією таких фінансових інституцій як брокерські та дилерські контори, а також інвестиційні банки й фонди є полегшення проведення прямих фінансових угод. При цьому брокери й дилери часто об'єднуються в спеціалізованих фінансових біржах, обслуговуючи своїх клієнтів в купівлі й продажу різноманітних цінних паперів. Дохід дилера обумовлюється різницею між ціною попиту й пропозиції на цінний папір (спредом). Інвестиційні банки допомагають здійснювати первинне розміщення фінансових зобов'язань (акцій, облігацій тощо), причому часто вони знижують емісійний ризик зобов'язань шляхом їх гарантованого розміщення (андеррайтинга).

Інші фінансові посередники (депозитарні інститути та ощадні установи, що діють на контрактній основі, фінансово-кредитні фірми) є інституціями, що займаються непрямим фінансуванням. Фінансовими установами депозитарного типу є комерційні банки, позичково-ощадні асоціації, взаємоощадні банки й кредитні спілки. Найбільш важливими фінансовими посередниками в економіці є комбанки, що надають кредити фірмам і споживачам та оперують закладними. Комбанки залучають кошти шляхом продажу фінансових зобов'язань у вигляді різноманітних депозитних внесків. Короткострокові депозити також є джерелами коштів й інших депозитарних інститутів, які трансформують їх у більш довгострокові споживчі комерційні та іпотечні (на базі застави) позички.

До ощадних інституцій, що діють на контрактній основі належать компанії із страхування життя, від нещасливих випадків та пенсійні фонди. Вони одержують кошти через довгострокові контракти і розміщають їх на ринках капіталів. Вони здатні здійснювати довгострокові інвестиції, бо приток коштів до них носить стійкий характер, а відтік є прогнозованим.

Діяльність фінансових інституцій супроводжується рядом фінансово-комерційних ризиків, до основних з яких належать: 1) ризик не повертання кредитів; 2) ризик зміни процентних ставок; 3) ризик падіння ліквідності (можливості реалізації) фінансових активів; 4) ризик зміни обмінного валютного курсу; 5) політичні ризики.

1.4 Функціонування фінансових ринків

На фінансових ринках здійснюється купівля й продаж різноманітних фінансових зобов'язань, оформлених у вигляді контрактів (до них відносяться різні типи кредитів, численні види цінних паперів, що звичайно розподіляються на три класи: а) пайові папери (різні типи акцій); б) боргові зобов'язання (облігації, сертифікати, векселі, заставні); в) похідні папери або деривативи (форвардні контракти, опціони, ф'ючерси ; та інші активи), а також їхній обмін).

Первинними називаються ринки, де вперше здійснюється продаж фінансових зобов'язань, що випущенні (емітовані) ОДБ з метою поповнення наявних коштів. Такі продажі здійснюються за допомогою андеррайтерів.

Вторинними є ринки, де обертаються фінансові зобов'язання, що були емітовані раніше. Населення переважно використовує вторинні ринки для коректування своїх портфелів активів або для отримання грошей від їхнього продажу, тому воно прагне здійснювати купівлю фінансових зобов'язань на первинному ринку.

Фінансові ринки поділяються на ринки грошей, ринки капіталів та страхові ринки (ринки страхових послуг). На ринках грошей здійснюється продаж і купівля національної та іноземних валют та ряду фінансових зобов'язань короткотермінованого характеру (з терміном погашення не більше року), на ринках капіталу продаються більш довгострокові фінансові зобов'язання (з дією понад рік), і такі ринки розпадаються на ринки довгострокових кредитів та ринки цінних паперів. Грошові ринки дозволяють економічним суб'єктам керувати ліквідністю їхніх активів, бо на цих ринках продають великі обсяги високоліквідних, відносно надійних фінансових інструментів.

На ринках угод зі сплатою готівкою (спот-ринках) операції з цінними паперами здійснюються на умовах негайної купівлі й проведення розрахунків по контракту протягом декількох днів.

На ринках строкових угод продаються форвардні контракти з розрахунком по майбутньому курсу валюти або майбутньому рівню процентної ставки. Обсяги цих контрактів та строки їх виконання встановлюються за угодою учасників. На ф'ючерсному ринку продаються контракти на майбутню поставку цінних паперів по майбутнім цінам. Ці контракти реалізуються на ф'ючерсних біржах, котрі самі встановлюють їх обсяги, строки поставки й інші умови. На ринку опціонів ведуться торги опціонами двох видів - пут і колл. Вони дають їх власникам право (але не зобов'язання) продати (чи купити) конкретні активи за ціною, вказаною в контракті, протягом терміну його дії. На біржовому ринку надається місце й встановлюються правила проведення торгу. На позабіржових ринках угоди між учасниками (напр. дилерами різних міст) здійснюються через лінії зв'язку (телефонні, радіотелефонні тощо).

Фінансові ринки через свою алокаційну, інформаційну та операційну ефективність покращують роботу економічної системи в цілому. Інформація про стан ринку вкрай важлива для його ефективного функціонування. Через це учасники ринку готові оплачувати великими коштами свіжі дані про стан позичальників та угоди, що здійснюються. Органи, що здійснюють контроль над роботою ринку, вимагають від емітентів цінних паперів негайного подання інвесторам (тим, хто вкладає кошти) відомостей про зміни, що відбуваються. Комп'ютеризація ринків підвищує їх операційну ефективність, але утворює певні проблеми, щодо ідентифікації клієнтів-замовників. Тому комп'ютеризовані ринки звичайно обмежуються цілодобовими торгами при виконанні невеликих замовлень.

В цілому через діяльність фінансових посередників між емітентами та інвесторами, якими виступають дилери й брокери, трейдери і скальпери** скальпер (scalper)- дрібний фінансовий спекулянт, що намагається здійснювати велику кільність дрібних операцій. , угоди на ринку здійснюються більш активно, підвищується також інформаційна активність ринку. Нацбанк сприяє успішному функціюванню ринків державних фондів та державних цінних паперів.

1.5 Предмет, методи, принципи й моделі фінансової математики

Згідно сучасних уявлень теорія фінансів і фінансовий аналіз повинні досліджувати властивості фінансових структур і технологій, займатися тим як найбільш раціональним чином використовувати фінансові ресурси з врахуванням факторів часу, ризику й характеру економіко-фінансового довкілля (як правило випадкового) за допомогою різноманітних фінансових інструментів й операцій.

Будь-яка фінансова операція, інвестиційний проект або комерційна угода передбачають наявність ряду умов їхнього виконання, з якими погоджуються причетні сторони. До таких умов відносяться суми фінансових активів (зокрема грошей), часові параметри, процентні ставки, різноманітні додаткові величини й показники. Кожна з перерахованих характеристик може бути представлена різноманітним чином. В рамках однієї фінансової операції подібні показники утворюють деяку взаємопов'язану систему, що підпорядковується певній логіці. В зв'язку з множинністю параметрів кінцеві результати (крім самих елементарних ситуацій) не є очевидними. Зміна однієї або більшої кількості величин, змінює результати операцій. Звідси подібні системи мусять бути об'єктом застосування кількісного фінансового аналізу. Методи й моделі такого кількісного аналізу складають предмет сучасної фінансової математики (ФМ).

Апарат ФМ призначений для розв'язання різноманітних задач, які можливо поділити на дві великі групи: 1) традиційні (або класичні); 2) нетрадиційні (або стохастичні), постановка і розробка яких відносяться до останніх 50-ти років. Кількісний фінаналіз застосовується як в умовах визначеності, так і невизначеності. В першому дані для аналізу відомі й фіксовані. Тоді аналіз проводиться методами традиційної ФМ (як наприклад, при емісії звичайних облігацій, коли однозначно визначені всі параметри - строк, купонна доходність, порядок викупу). Аналіз значно ускладнюється, коли доводиться враховувати невизначеність - динаміку фінансових ринків (рівні процентних ставок, коливання курсів цінних паперів, валютних курсів тощо) та поведінку контрагентів. Тут доводиться застосовувати різноманітні “ймовірнісно-статистичні” теорії (стохастичні процеси й числення, статистику таких процесів, стохастичну оптимізацію тощо) та напрацювання сучасної фінансової інженерії, у вигляді частково емпіричних, частково аналітичних методів й моделей аналізу та прийняття рішень в складних ситуаціях.

Рамки ФМ досить широкі - від елементарних підрахунків процентів, до складних підрахунків для динамічних стохастичних й статистичних моделей фінансових явищ й операцій. Серед основних задач ФМ можна вказати: 1) вимірювання кінцевих фінансових результатів угод, контрактів тощо для причетних сторін; 2) розробка планів виконання операцій з врахуванням фінансових ризиків та застосування методів їх редукції; 3) вимірювання залежності кінцевих результатів операції від її параметрів; 4) визначення припустимих критичних значень цих параметрів та розрахунок (в разі потреби) параметрів еквівалентної (справедливої беззбиткової) зміни первісних умов операції.

Область застосування методів кількісного фінансового аналізу в процесі його історичного розвитку послідовно розширювалося. Коротко прослідуємо головні етапи цього розвитку.

Є свідоцтва того, що на зорі цивілізації (Месопотамія) вже застосовувалося нарахування процентів у простих позичкових операціях. Значний поштовх розвитку методів фінансового аналізу, обліку й управління дали в часи Відродження у Середньовічній Європі праці італійського математика Лукі Пачолі (1445-1514). Дослідження засновника економічної теорії та статистики Вільяма Петті (1623-1687) та його школи виявили важливість кількісних методів фінансової економіки (зокрема страхування). Аналіз результатів Пачолі в листуванні П.Ферма і Б.Паскаля (1652р.) призвів до виникнення початків теорії ймовірності та теорії ігор. Протягом ХІХ ст. і початку ХХ ст. основна увага традиційної ФМ зосередилася на вивченні потоків платежів, аналізі інвестиційних проектів. В 1900р. Луї Башельє (1870-1946) вперше розглянув еволюцію вартостей акцій як випадковий процес арифметичного броунівського руху та отримав формулу для раціональної ціни опціона-колл, котру покупець мусив сплатити продавцю, що зобов'язався продати покупцеві акції в майбутній момент за певною ціною виконання угоди.

В традиційній ФМ, що розглядала кількісні моделі в припущеннях повної визначеності, значну роль відіграли роботи І. Фішера, Ф. Модільяні і М.Міллера, що розглянули питання оптимальних фінансових рішень домогосподарств і фірм.

В напрямку розвитку моделей оптимальної поведінки економіко-фінансових агентів велику роль зіграли роботи Дж. фон Неймана з концепції сподіваної користі 40-х рр. ХХст., що знайшли подальший розвиток в дослідженнях К. Ерроу і В. Пратта з вимірювання ризиковості дій таких агентів.

Значну роль у становленні стохастичної ФМ мали роботи Г. Марковітца (1952р.) і М. Кендала (1953р.) з основ теорії портфелю цінних паперів інвестора та його оптимізації та стохастичний динаміці цін активів. Ці роботи стимулювали створення класичних теорій САМР (моделі ціноутворення основних фондів) В. Шарпом в 1964р.; АРТ (Арбітражної теорії розрахунків) С.Россом в 1976р. та “Теорії ефективного ринку” (ЕСМТ).

В 1973р.була створена перша біржа по заключенню стандартних контрактів з опціонами (СВОЕ - Chikago Board Options Exchange) і опубліковані роботи Ф. Блека і М. Шоулса, а також Р. Мертона з ціноутворення опціонів, що визвали революційні зміни в методології фінансових розрахунків і закріпили створення стохастичної ФМ.

Свідотством важливості розвитку ФМ ХХст. є той факт, що переважна частина авторів вищевказаних результатів стала Нобелівськими лауреатами з економіки.

Інтенсивний розвиток ФМ супроводився в останні два десятиліття становленням й успіхами суміжних напрямів фінансового аналізу та їх кількісних методів й моделей. Сюди насамперед слід віднести різні розділи фінансової інженерії, пов'язані з розробкою й впровадженням нових фінансових інструментів, удосконаленням методів фундаментального й технічного аналізів фінансових ринків, широким застосуванням методів статистичного імітаційного моделювання, нейронних сіток тощо. Особливо слід відмітити процес інформаційно-комп'ютерних технологій в фінансах і фінансовому аналізі (системний аналіз, інформатика, експертні системи тощо). Ці технології дозволили приймати, запам'ятовувати, зберігати й обробляти гігантську інформацію про рахунки, угоди, зміни цін, а також використовувати це в режимі реального часу. В результаті багато видів фінансових фірм набули нового структурного устрою, технічно остали можливими автоматизовані системи управління фінансовими ризиками.

Сформулювалася так дисципліна як економетрика фінансових ринків, що призвело до виникнення нових статистично-фінансових моделей динаміки вартості фінансових активів: ARCH, GARCH, FIARCH, FIGARCH тощо.

Всі ці нові напрямки кількісного фінансового аналізу утворюють разом з традиційною ФМ та стохастичною ФМ і актуарною математикою основне ядро сучасної фінансової економіки - фінансову математику в широкому розумінні.

Але слід додати, що в цілому, незважаючи на бурхливий розвиток ФМ в останні десятиліття фінансовий ринок ще залишається недостатньо вивченим та науково зрозумілим явищем.

До інноваційних напрямів сучасної фінансової математики слід віднести різноманітні моделі, пов'язані з неповним фінансовими ринками, зокрема ринками з випадковими волатильностями руху цін фінансових активів, різноманітними обмеженнями тощо. Протягом останніх років інтенсивно розвивалися фрактальні моделі фінансових ринків, в основі яких лежить явище статистичної само подібності коливань вартості цінних паперів. Подібні моделі використовують такий випадковий процес, як фрактальний броунівський рух, та побудовані на ньому стохастичні числення. Відповідний напрямок досліджень добре представлений у Київському національному університеті (проф. Мішура Ю.С. та її учні).

Новою парадигмою фінансової економіки став досить революційний підхід до розуміння ймовірності як науки та відповідного фінансового моделювання, розроблений Г.Шафером і В.Вовком, який вони назвали „теоретико-ігровим”. В його основі лежить не припущення про існування деякого механізму випадковості (датчика випадковості) типу підкидання монети, колеса рулетки тощо, а тільки припущення про можливість робити грошові ставки на майбутній хід подій (чим спокін віків займаються фінансові агенти та спекулянти). Ця парадигма веде до нових уявлень про „правильну організацію” фінансових потоків.

Глава 2. Математика простих і складних процентів

2.1 Базові моделі нарахування процентів

Фактор часу грає дуже важливу роль у фінансових операціях (ФО). Тому моделі ФО є динамічними, що розділяються на моделі з дискретним часом, коли час фігурує у вигляді послідовності деяких моментів, і на моделі з неперервним часом, коли час змінюється неперервно на деякому проміжку (скінченому або нескінченному). В залежності від напрямку течії часу в процесі, що описується моделлю, розрізняють моделі з прямим часом та зворотнім часом. При моделюванні звичайно вважається, що час вимірюється в деяких зарані фіксованих одиницях (рік, місяць, день тощо).

Нехай стан фінансів на момент часу , що може змінюватися на дискретному або неперервному часовому проміжку , позначається як і є сумою грошей фінансового агента на момент . Тоді для характеризації ефективності ФО (угоди, контракту) застосовують такі показники як відносне зростання або дохід (ставка - interest rate, return) та відносна знижка (або дисконт - discount rate) , що визначаються формулами:

Вони показують відносний приріст капіталу до його початкового значення (дохід або інтерес) та до кінцевої суми (дисконт). З виразу (1) випливають наступні формули зв'язку введених величин:

Формули (3) показують, що фінансову угоду можливо характеризувати як ланцюг “початкова сума - ставка - кінцева сума”, або як “кінцева сума - дисконт - початкова сума” (в схемі зі зворотнім часом). Моделі (2)-(4) також часто характеризують з допомогою таких показників як дисконт-фактор та коефіцієнт нарощення :

Зауважимо, що часто в практиці фінансів та виражають у процентах, помножуючи відповідні величини на 100%. Це пояснює застосування термінів “ставка проценту” замість зростання, процентний цінний папір замість позичкового зобов'язання, процентщик замість лихвар.

Приклад 1. Якщо грошовий кредит наданий на один рік у сумі 1 млн. грн. з умовою повернення 2 млн. грн., то відносний дохід (ставка) складає 1(або 100%), а дисконт - Ѕ (або 50%). Якщо кредит надано у сумі 3 млн. грн. зі ставкою 50%, то через рік доведеться повертати 4,5 млн. грн.. Якщо ж кредит виданий з умовою повернення через рік 3 млн. грн. з дисконтом 20%, то дебітор отримає 2,4 млн. грн.. При цьому дисконт-фактор буде 0,8.

Звичайно в умовах фінансової угоди вказують ставку або дисконт за певний базовий період часу, протягом якого здійснюється виплата прибутку (період конверсії або капіталізації прибутку (інтересу)). Найчастіше базовим періодом є рік, іноді - півроку, квартал, місяць, день. Тоді відповідну виплату за період часу протяжністю в базових періодах обчислюють за певними правилами, що випливають з умов угоди. Практично застосовують дві схеми простих процентів (simple interest), або дві схеми складних процентів (compound interest), приймаючи у 1-му випадку і (лінійні функції часу з коефіцієнтами і, що називаються процентною ставкою і обліковою ставкою за період конверсії), а у 2-му випадку, покладаючи

де - (складна) ставка проценту, а - (складна) облікова ставка. Зауважимо, що фінансовий термін “процент” походить від латинського виразу pro centum, що в перекладі означає “на сто” (тобто соту частину цілого), що передається синонімічним терміном “відсоток”. Але термін “відсоток” не вживається у фінансовій практиці, де загальноприйнятим міжнародним терміном є “процент”.

Таким чином в схемах з процентною ставкою ( звичайною ставкою %) з дискретним часом , коли одиниця часу є періодом конверсії сума в разі простих процентів змінюється як арифметична прогресія

а в разі складних процентів - як геометрична прогресія

Для схем з обліковою ставкою маємо в разі простих і складних процентів відповідно формули

або

Сучасна практика фінансових ринків дає велику різноманітність величин процентних ставок і по різним типам кредитів, вкладень грошей та іншим ФО. Виникає питання чому взагалі сплачуються проценти і чому існують різні процентні ставки? Гроші приносять вигоду й добробут не самі по собі, а лише як засіб обміну, коли за них купуються реальні блага (товари й послуги). Вкладаючи або інвестуючи гроші економічний агент відмовляється від можливості обернути їх в реальні блага, що дають пряму користь, втрачаючи потенціальну користь, що вимагає певну часову компенсацію. Інвестиції ведуть до невизначеності відносно майбутньої вартості інвестованих грошей через можливі типи ризиків, що можуть зменшувати вигоду або добробут. До основних фінансових ризиків належать ризик втрати купівельної спроможності грошей або інфляційний ризик, ризик невиконання зобов'язань через не передбачувані обставини, ризик втрати потенційних вигод у майбутньому. Це дає позитивну часову перевагу ( positive time preference) для грошей, коли економічні агенти віддають перевагу наявним грошам перед обіцянками надати їх пізніше.

Проценти виражають інтерес (чистий дохід, прибуток) власника грошей від ФО, що компенсує його видатки на операцію і неможливість задовольняти позитивну часову перевагу грошей при їх альтернативному використанні (усереднено компенсує можливі ризики, вказані вище) . Різні величини процентних ставок враховують різні ступені можливих в майбутньому ризиків. Так наприклад, якщо іпотечна позика (позика під матеріальну заставу) надається під річну ставку =7%, то банківський овердрафт (позика у формі дозволу перевищувати суму грошей на банківському рахунку клієнта) навіть для досить надійних клієнтів має ставку =22%.

Порівняємо наслідки користування схемами простих та складних при тих же самих процентних ставках.

Приклад 2. Сума депозиту (банківського вкладу) дорівнює 100 тис. грн. При ставці =30% річних. Визначимо нарощену вартість депозиту за простими і складними процентами за ряд періодів часу з Ѕ,1,2,5,10,20 років. Використовуючи формули (7), (8) будемо мати результати, що надані в наступній таблиці (в тис. грн.).

Проценти	Періоди нарощення суми
	Півроку	1 рік	2 роки	5 років	10років	20 років
Прості	115	130	160	250	400	700
Складні	114,02	130	169	285,61	482,68	2329,81

Переходячи у формулах (7) і (8) до неперервного часу при і використовуючи біноміальний розклад для, легко отримати такі порівняльні результати:

при ,

при .

(при =1 очевидно результати співпадають).

Це дає такі фінансові висновки: 1) при періоді часу меншому року прості проценти більш вигідні кредитору (банку); 2) при рік схеми простих і складних процентів дають однакові результати; 3) при складні проценти більш вигідні кредитору (банку). Такий висновок пояснює поширеність у фінансовій практиці простих процентів зі звичайною ставкою для періодів часу менших року і складних процентів при року.

Задача. Порівняти нарощені суми для різних періодів часу в схемах простих і складних процентів з обліковою ставкою . Порівняти нарощені суми для процентних схем з процентною ставкою і обліковою ставкою при умові рівності .

2.2 Застосування простих процентів

Схеми простих процентів є поширеною фінансовою моделлю при позичально-кредитних операціях з терміном, що не перевищує року. До подібних ситуацій відносяться операції короткострокового банківського й ломбардного кредиту, споживчого кредиту, ведення поточних банківських рахунків тощо. Якщо в моделі з дискретним часом період конверсії співпадає з обраною одиницею часу, то відповідні ставки і називаються фактичними, а якщо період конверсії не співпадає з базовою одиницею часу, то ставки називається номінальними (вони умовно відносяться до одиниці часу). Звичайно в практичних ситуаціях в базовій одиниці часу вкладається ціле число періодів конверсії. Тоді для розрахунків застосовують так звану релятивну процентну ставку r/m або релятивну облікову ставку d/m, так що відповідні формули набувають вигляду

або ,

де час вимірюється в нових одиницях, що дорівнюють періоду конверсії.

Приклад 1. Нехай є початковий капітал в 1 тис. грн. Покладений на депозит з номінальною річною ставкою =6% з квартальним нарахуванням процентів. Тоді релятивна ставка є 1,5% сплачується наприкінці кожного кварталу, так що за півроку капітал зросте до 1,03 тис. грн.

Складніше стає ситуація коли періодом конверсії стає день. Тоді або протяжність року приймається за 360 днів (12 місяців однаковою протяжністю в 30 днів) і в цьому разі прості проценти називають звичайними, а якщо рік вимірюється фактичною кількістю днів (365 для звичайного і 366 для високосного року), то відповідні проценти називаються точними.

Отже виникає 4 схеми розрахунків простих процентів: 1) точні проценти з точним числом днів (ця найбільш точна схема застосовується, наприклад, у банках Великобританії, США, Португалії); 2) звичайні проценти з точним числом днів (Франція, Бельгія, Іспанія, Швейцарія); 3) звичайні проценти з наближеним числом днів (найменш точна схема, що застосовується в Німеччині). Схема точних процентів з наближеним числом днів - практично не застосовується.

Приклад 2. Виданий кредит в сумі 1 млн. грн. з 15.01.02 по 15.03.02 під 20% річних (=0,2). Тоді при точних процентах схеми 1) =1032328 грн. 77 коп., а при звичайних процентах схеми 3) =1033333 грн. 33 коп..

Припустимо, що інфляція або інші зміни кон'юнктури змушують часто змінювати ставку (floating rate). Нехай в період угоди відбуваються зміна в моменти часу . Позначимо і розіб'ємо період на проміжків зі сталою ставкою, щоб на вона складала величину .

Тоді якщо сума розміщена під прості проценти при описаних змінах ставки та відсутності проміжних операцій, то коефіцієнт нарощення на проміжку складає величину

Формула (1) є прямим наслідком принципу нарахування простих процентів на сталу початкову суму.

Приклад 3. Контракт передбачає нарахування простих процентів: за 1-й рік - 60%, а в кожному наступному півріччі (семестрі) ставка підвищується на 10%. Визначити нарощення А за 2,5 роки.

Маємо

і . Тому .

Якщо в моменти зміни ставки, нарощена сума вилучається й негайно знов вкладається під новий простий процент, то така схема називається реінвестуванням простих процентів.

Пропозиція. При описаному реінвестуванні з початковою інвестицією нарощена на сума складає:

Формула (2) легко перевіряється індукцією за числом .

Наслідок. При

і

реінвестування дає схему складних процентів: .

Приклад 4. На суму щомісячно протягом кварталу нараховують прості проценти за ставкою в 9% за 1-й місяць, =10% за 2-й місяць і =11% за 3-й. Тоді при реінвестуванні

.

Зауважимо, що через можливість реінвестування банки практично не користуються схемою простих процентів для депозитів, що тривають більше ніж один період конверсії, хоч вона є для них більш вигідною.

Приклад 5. Нехай позичальник заборгував сум , що погашаються після днів (тобто в різні терміни) за простими процентними ставками відповідно. Позичальнику іноді вигідно сплатити весь борг разом, але кредитор погодиться на це тільки коли він не понесе збитку. Тоді за принципом еквівалентності фінансових зобов'язань один термін повертання боргу в днів (середній термін погашення позики одному кредитору) за однією (середньою процентною ставкою) повинен давати ту же суму платіжу, що й сума процентних платежів за попередніми угодами. Це дає таке співвідношення (рівняння еквівалентності) для і:

,

де - базове число днів у році. Легко побачити, що рівняння еквівалентності може бути ефективно розв'язане відносно у таких випадках: 1) коли

і ;

Тоді

- середнє арифметичне окремих термінів погашення;

2) - різні, але

;

тоді

- середнє зважене окремих термінів з вагами

; 3) ; тоді очевидно за потрібно взяти , звідки середня ставка

- середнє зважене .

Приклад 6. Споживчий кредит сумою наданий на умовах річної простої процентної ставки і має бути сплачений за місяців з однаковими місячними виплатами основного боргу (без нарахування процентів). Скласти модель погашення кредиту (модель амортизаційного плану місячних сплат).

Тут процентний платіж за користування кредитом розраховується “вперед”: за 1-й місяць платіж розраховується на весь борг, а на кожний наступний місяць - на залишок боргу (на величину боргу, зменшену на вже сплачену частину). Тоді платіж в 1-ому місяці є у другому місяці

і т.д. Тоді в - тому місяці

Тоді загальна сума виплат за користування кредитом (інтерес кредитора) буде

Отже загалом на погашення кредиту йде сума, де дається формулою (4).

Приклад 7. Скласти план погашення кредиту в 15000 грн. з =12% і терміном погашення в 6 місяців.

Користуючись формулами (3) і (4) маємо амортизаційний план, що представлений такою таблицею:

Місяць	Борг	% платіж	Виплата боргу	Місячний платіж
	15000	12%
1	12500	150	2500	2650
2	10000	125	2500	2625
3	7500	100	2500	2600
4	5000	75	2500	2575
5	2500	50	2500	2550
6		25	2500	2525
разом		525	15000	15525

Схема простих процентів зі звичайною процентною ставкою , що є нормою прибутку за один період конверсії (капіталізації), як випливає з вищевказаних розглядів, пов'язана зі сплатою (нарахуванням) процентів наприкінці кожного з періодів капіталізації протягом часу, що складається з ряду таких послідовних періодів. Такий спосіб нарахування процентів називається декурсивним (наступним), а самі відповідні прості проценти - процентами “потім” (постнумерандо), що виражає факт їх нарахування наприкінці періоду конверсії. Схема простих процентів з обліковою ставкою пов'язана з нарахуванням і сплатою процентного прибутку на початку кожного періоду капіталізації. Процентний прибуток називається тоді авансовим (на відміну від рекурсивної схеми, де він є заборгованим), а сама величина прибутку називається дисконтом (на відміну від рекурсивної системи, де він називається інтересом). Сама подібна схема капіталізації прибутку на початку періодів конверсії називається антисипативною, а відповідні процентні платежі - платіжними “вперед” (попередньо або пренумерандо).

Доведемо вказаний факт. Нехай фактична ставка дисконту (облікова ставка), . Інвестор, що вкладає суму на один період конверсії зі ставкою пренумерандо буде негайно отримувати процентний прибуток , цей прибуток негайно приєднується до його доходу, інвестується і дає прибуток інвестування якого дає прибуток і т.д. до нескінченності. Таким чином загальний дохід інвестора (сума інвестованого капіталу плюс всі прибутки) складає величину

(в очевидних припущеннях, що , бо пов'язана з еквівалентною їй за результатами процентною ставкою відношенням через рівність

).

Формально рівність (5), що втілює антисипативний характер нарахування простих процентів з обліковою ставкою є наслідком розкладу

.

Зауважимо, що зв'язок еквівалентних ставок і можна переписати у вигляді , звідки випливає, що . Отже тоді .

Антисипативна за своєю сукупністю схема простих процентів з обліковою ставкою прямо налаштована на підрахунок сучасного, приведеного або поточного значення (present value) інвестиції тобто суми по її майбутній вартості (future value)

: ,

бо при її використанні легше підраховується дисконт-фактор ніж при рекурсивній схемі зі ставкою, коли . При цьому величина дисконту є знижкою до сучасної вартості.

Подібний підхід зручно застосовувати при ФО пов'язаних з обліком боргових цінних паперів (БЦП) - векселів і облігацій. Вексель (В) є письмовим борговим зобов'язанням, що укладено у відповідності із законом та дає право його власнику після настання строку оплати отримати від юридичної або фізичної особи, яка видала В, обумовлену ним суму. В - це цінний папір (ЦП), який підтверджує факт надання позики, або купівлі товару в кредит під проценти і який може знаходитися як і інші ЦП в обігу на фінансовому ринку, тобто перепродаватися й куплятися, змінюючи власника. Виникає проблема оцінювання В при таких ФО, що відбуваються до настання строку платежу (date of maturity) за векселем. Звичайно банк або інша фірма, що купляє В до цього строку (враховує його) з деяким дисконтом (знижкою) відносно його номінальної вартості. Ця ФО здійснюється із застосуванням облікової ставки , тобто ціна обліку (врахування) В обчислюється за формулою , де - номінальна ціна В, а час в періодах конверсії до яких прив'язана ставка до строку погашення векселя. При цьому дохід банку (дисконт врахування В) є .

Приклад 7. Тратта (перевідний В) виданий на суму 10000 грн. зі сплатою (погашенням )17.11.2002. Власник В врахував його у банку 23.09.2002 по річній обліковій ставці =20%. Яку суму він отримав і який дисконт(дохід) отримав при цьому банк?

Звичайно облік В здійснюється при часовій базі року =360 днів з точним числом днів позики, що в даному прикладі дорівнює 55 дням . Тому =10000(1-(55/360)0,2)=9694 грн. 44 коп. Отже дисконт банку складає величину

грн..

2.3 Основні поняття й формули, пов'язані із застосуванням базових схем складних процентів

На відміну від простих процентів, де процентний платіж нараховується на одну й ту ж саму величину первісного капіталу протягом всього часу ФО, в схемах складних процентів процентний платіж у кожному розрахунковому періоді (періоді конверсії) додається до капіталу попереднього періоду, а процентний платіж наступного періоду обчислюється на нарощений капітал попереднього періоду як було з'ясовано в пункті 2.2. Прикладом збільшення капіталу зі складними процентами є регулярне реінвестування коштів, вкладених під прості проценти на один період конверсії. Спосіб обчислення процентних платежів за складними процентами називається нарахуванням “процентів на процент”.

З пунктів 2.2 і 2.1 випливає, що є дві базові схеми нарахування складних процентів: перша найбільш поширена - декурсивна схема з нарахуванням платежів % за звичайною ставкою наприкінці кожного розрахункового періоду; друга менш поширена - антисипативна (попередня або авансова) схема, коли платіж % за обліковою ставкою нараховується та додається до капіталу на початку кожного періоду конверсії. Якщо періоди конверсії є відповідно роком, півріччям, кварталом, місяцем, тижнем або днем, то відповідні % ставки називаються річними, піврічними, квартальними, місячними, тижневими або денними.

Для дискретного часу , початкового моменту і капіталу маємо такі закони динаміки (нарощення) капіталу для моментів часу за декурсивною (антисипативною) схемою складних процентів:

де і фактичні процентна і облікова ставки відповідно. Зауважимо, що формули (1) при певній інтерпретації, що буде приведена в подальшому, зберігаються і для моделей з неперервним часом. При цьому складні коефіцієнти нарощення акумуляції процентів визначаються рівностями

З формул (1) випливають корисні формули для визначення ставок і за величинами капіталу та тривалості розрахункового періоду :

Має місце такий принцип стабільності фінансового ринку: якщо не враховувати податки та інші надкладні видатки, то коефіцієнт нарощення на деякому проміжку часу є добутком таких коефіцієнтів, на які розбитий основний проміжок (ланцюгове правило). Очевидно, що загальне ланцюгове правило еквівалентно його виконанню два двох проміжків часу: при довільних

.

З ланцюгового правила випливає загальний вигляд коефіцієнтів нарощення в умовах змінної ставки процентів: якщо послідовні значення, що діють протягом проміжків часу тривалостей відповідно, то коефіцієнт за весь термін буде

.

Приклад 1. Нехай ставка за позикою є 30% плюс маржа (доплата на накладні видатки або комісійні) в 2% на квартал в перший рік та складає 40% плюс маржа 3% за півроку на другий рік. Тоді за два роки буде.

Нехай - ставка складних процентів за період нарахування в від основного періоду часу (напр. року) зі ставкою . Тоді для часу . Якщо є релятивною ставкою, що відповідає номінальній ставці , , то . Як відомо з математичного аналізу монотонно зростає по і має границю при довільному . Отже використання релятивної ставки замість номінальної при кратному зменшуванні періоду конверсії збільшує дохід інвестора для будь-якого періоду капіталовкладення.

Приклад 2. При річній номінальній ставці =6% квартальному періоді конверсії відповідає релятивна ставка =1,5%, яка дає нарощення за рік, тобто відповідає фактичній річній ставці =6,136%.

Приклад 3. Знайти період подвоєння початкової інвестиції при однаковій ставці простих і складних процентів і порівняти їх для різних. Покладаючи відповідні коефіцієнти нарощення рівними 2 має для простих процентів (з рівності ) і для складних - (з рівності ). Вибираючи =5,10,15,25,50,75, маємо такі порівняльні дані:

(у %)	5	10	15	25	50	75
	20	10	6,7	4	2	1,33
	14,2	7,3	5,0	3,1	1,7	1,24

Нехай термін інвестиції не є цілим числом, де - ціла частина , а - дробова частина. Тоді складні проценти за ставкою можна порахувати: 1) за загальною формулою

2) комбінованим методом (тобто для нараховуються складні проценти, а для періоду - прості):

Неважко встановити, що формула (5) дає більшу суму ніж (4) (тобто для депозиторів є вигідним метод 2), а для банків - 1).

Нехай - номінальна процентна ставка за базову одиницю часу (напр. рік), але період конверсії становить базової одиниці. Розглянемо сукупність еквівалентних їй номінальних ставок для , для яких відповідні релятивні ставки для періоду конверсії дають той же результат за базову одиницю, що й застосування : . Тоді сім`я ставок описується рівністю

Оскільки є реально діючою ставкою для базової одиниці часу при використанні ставок з періодом конверсії , то вона називається ефективною ставкою для сім`ї номінальних ставок і позначається як . При цьому очевидно, що

.

В загальному випадку, коли період нарахування процентів може і не вкладатися ціле число разів в базову одиницю часу (напр. рік), то ефективна ставка для ставки визначається формулою .

Для антисипативної схеми зі складною номінальною обліковою ставкою при нарахуванні процентів раз за базову одиницю часу сім`я номінальних ставок , для яких відповідні релятивні ставки еквівалентні d, задовольняють рівняння звідки ефективна облікова ставка для ставок має вигляд звідки

Розглянемо тепер динаміку зміни капіталу фінансового фонду, куди розміщений початковий капітал і наприкінці -го року вноситься додаткова сума , при умові використання коштів на інвестиції за річною ставкою .

є балансовим капіталом фонду наприкінці -го року. Враховуючи, що % дохід від балансу попереднього року є , маємо таке рівняння динаміки

Якщо помножити (8) на і просумувати по всім то отримаємо кінцевий капітал на рік :

Сучасна вартість (для =0) акумульованого капіталу підраховується дисконтуванням, тобто множенням (9) на , де - дисконт-фактор за ставкою . Тоді

.

Переписавши рівняння (8) у вигляді та підсумувавши це по знайдемо загальний приріст капіталу фонду

,

що складається з сумарного процентного доходу й суми всіх проміжних депозитів.

В ряді країн отримані (юридичними а іноді й фізичними особами) процентні дивіденди обкладаються податком , що зменшує нарощену суму. Нехай нарощена сума до сплати податку (tax-free) - , а після сплати і ставка податку на проценти є . Тоді після нарахування простих процентів з находимо, що

Тобто податок фактично зменшує процентну ставку з величини до величини .

В довгострокових операціях при оподаткуванні складних процентів можливі варіанти: 1) податок нараховується відразу за весь термін (на всю суму інтересу); 2) податки нараховуються послідовно наприкінці кожного року. У випадку 1) сума податку складає , а нарощена сума:

У випадку 2) сума податку змінюється з роками за законом

.

Досі в усіх випадках всі суми грошей вимірювалися за номіналом (на бралися до уваги зменшення реальної купівельної спроможності грошей через інфляцію). Інфляцію необхідно щонайменше врахувати у двох випадках : при розрахунку реальної нарощеної суми та при вимірюванні реальної ефективності ФО. Розглянемо ці проблеми.

Вимірювання купівельної спроможності грошей є однією з головних задач державної фінансово-економічної статистики і з цією метою обчислюється індекс цін (індекс росту споживчих цін). Якщо середній споживчий кошик в економіці включає назв товарів у кількостях , а ціна за одиницю товару в момент часу , то вартість кошику є . Індекс за час від до , є безрозмірною величиною , а темп інфляції за цей період є відносним приростом вартості попиту: . Звичайно темп інфляції вимірюється у процентах . Тоді . Середній індекс рангу цін та темп інфляції за проміжок в часових одиниць визначаються як

.

Оскільки інфляція є ланцюговим процесом (тобто ціна в поточному періоді підвищується на відносно рівня попереднього періоду), то

.

Якщо сталий очікуваний (або прогнозований) темп інфляції за період, то за періодів .

Тоді для реальної вартості нарощеної суми за час у випадку простої процентної ставки маємо, що

,

а у випадку складної процентної ставки

.

При буде “ерозія” капіталу, а при - реальне зростання капіталу. При у випадку простих процентів нарощення зі ставкою компенсує інфляцію.

Щоб запобігти знеціненню грошей застосовують корекцію ставки процентів на величину, що називається інфляційною премією; так скоректована ставка називається брутто-ставкою . У випадку простих процентів за ставкою ставку знаходять з умови рівності відповідних коефіцієнтів нарощення: або . Ставку в разі складних процентів знаходять з рівності або . На практиці часто останнім членом нехтують і покладають .

2.4 Неперервне нарахування процентів і неперервне дисконтування

В сучасній практиці фінансових інституцій за електронних методів виробництва та реєстрації ФО проценти на значні суми нараховуються щоденно і навіть за періоди в декілька годин. Тому тут стають у нагоді моделі неперервного нарахування процентів, що досить добре наближають дискретні розрахунки.

Схему неперервного нарахування складних процентів можна одержати граничним переходом для схем з релятивними ставками для періоду конверсії в базового періоду часу, що відповідають даній ефективній ставці , пов'язаній з базовою одиницею часу. Неперервне нарахування процентів є граничним для описаної моделі при , оскільки тоді період конверсії стає нульовим. При цьому існує границя

яка називається силою росту (force of interest) або неперервною ставкою процентів. Відповідних коефіцієнт нарощування за довільний час

і отже нарощування інвестиції описується формулою

Застосовуючи подібний граничний перехід для антисипативної схеми з релятивними обліковими ставками , що відповідають ефективній обліковій ставці на базову одиницю часу, , маємо, що

.

При умові еквівалентності ставок і маємо, що і, отже . Очевидно, що гранична неперервна схема нарахування складних процентів буде тією ж самою як для декурсивної, так і для антисипативної схеми. При цьому зокрема, , що дає значення так званого складного коефіцієнта дисконтування для будь якого часу у вигляді

що дає наступний вираз сучасної вартості PV (present value) для суми на момент

Відмітимо, що при сталих ефективній ставці , номінальній неперервній ставці коефіцієнт нарощення залежить тільки від довжини часового інтервалу і є оберненою величиною до . Зауважимо також, що і похідна .

Через випадкові коливання курсів цінних паперів й інших високоліквідних фінансових активів (валют, дорогоцінних металів) можливо вважати при моделюванні, що процентні ставки подібних активів змінюються неперервно в часі, тобто є функцією часу. Це означає, що залежить і від і від, причому

Через рівність

маємо ще одну інтепретацію сили росту . З (6) випливає, що

а коефіцієнт дисконтування для проміжку має вигляд

Зокрема при і проміжку

Приклад 1. Нехай на проміжку часу [0, 5) прогнозується ступінчаста зміна сили росту зі значеннями 0,2 при , 0,15 при і 0,1 при . Тоді за формулою (8) маємо, що

Приклад 2. Збудувати неперервну модель зміни капіталу фінансового фонду з початковим капіталом , якщо його капітал інвестується під неперервну ставку та мають місце нові надходження з інтенсивністю (це неперервний аналог дискретної моделі параграфу 2.3).

Динаміку зміни капіталу за нескінченно малий проміжок часу від до можна описати як приріст капіталу за рахунок процентного доходу

і нових надходжень :

.

Тобто, є розв'язком неоднорідного диференціального рівняння

,

який, як відомо, має форму

що при узгоджується з формулою (7).

Задачі та вправи

1. При якій річній ставці складних процентів за 9 років сума на депозиті подвоїться?

2. Рахунок „СБ-100” в сбербанку обіцяє 2,9% за 100 днів. Скільки це складає річних процентів?

3. Знайти суми в 1990, 1995, 2005, 2010 роках, еквівалентні сумі 10 000 грош. Од. В 2000 році при ставці 8% річних в разі простих та складних процентів.

4. Банк облікував вексель під 70% його номіналу за півроку до терміну його погашення. Яка доходність (ефективність) операції для банку?

5. Яку ставку повинен призначити банк, щоб при річній інфляції в 12% реальна ставка була б 6%?

6. Б.Франклін заповів мешканцям Бостону Ј1000 на таких умовах: 1) гроші давати під 5% річних молодим ремісникам; 2) через 100 років з накопичень (за складними процентами) Ј100 000 віддається на будівлю суспільних споруд; 3) гроші, що залишилися віддати під тіж самі проценти ще на 100 років; 4) після цього терміну накопичену суму поділити між мешканцями Бостону та Массачузетської громади, котрій передати Ј3 000 000. Скільки грошей одержали мешканці Бостону через 200 років після смерті Франкліна (1790 рік)?

7. Показати, що ефективна ставка більша за номінальну.

Глава 3. Потоки платежів, ренти, ануїтети та планування капітальних інвестицій.

3.1 Потоки платежів та їх класифікація

Сучасні фінансово-банківські операції часто носять протяжний у часі характер та складаються не з разового платіжу, а з деякої послідовності платежів в часі. що називається потоком платежів (cash flow). Прикладами є погашення позики частинами, орендна плата, інвестування у виробництво, виплата пенсій тощо.

Для опису потоку платежів треба знати моменти виплат та величини виплат (суми) в моменти Тоді називаються членами потоку платежів. В нерегулярному потоці членами можуть бути як додатні (надходження), так і від'ємні величини (виплати), а відповідні платежі можуть виконуватися через різні інтервали часу.

Регулярний поток платежів, всі члени якого додатні, а часові інтервали між сусідніми платіжами однакові, називаєтсья фінансовою рентою або просто рентою. В англомовній літературі ренти називаютсья ануїтетами (annuity). Ренти дуже часто зустрічаються у економічній, фінансовій та страховій практиці. Їх простими прикладами є квартплата, внески для погашення споживчаго кредиту, пенсійні платежі, регулярна виплата процентів за банківським депозитом або за цінними паперами, тощо. Спочатку розглядалися тільки щорічні виплати (anno-рік латиною), звідки й походить назва ануїтет.

Окрім члена ренти (rent) , періоду ренти (rent period, payment period) рента характеризуєтсья також терміном ренти (term) та діючою процентною ставкою . При характеризації окремих видів рент необхідні додаткові умови й параметри. При рента називається постійною, а в противному випадку змінною. Виплата ренти може відбуватися - разів на рік , а нарахування процентів на платежi разів на рік, Подібні ренти називаютсья дискретними () - кратним рентами (при l=m=1 - річними рентами). Зустрічаються ренти, де платіжі такі часті, що практично ренту можна розглядати як неперервну.

Якщо виплата відбуваєтсья наприкінці кожного періоду часу, то рента називається рентою постнумерандо або звичайною (ordinary annuity), а якщо на початку кожного періоду - то рентою пренумерандо або авансованою (annuity due). Іноді виплати відбуваються в певний момент внутрішній для періоду. За терміном ренти поділяються на безумовні або вірні (annuity certain) які передбачають точні дати виплат, особливо початкову й кінцеву, та умовні (contingent annuity), де дата першої і (або) останньої виплат залежить від того чи відбудеться деяка подія (взагалі випадкова). Тому число членів умовної ренти зарані невідомо. Типові приклади такого роду дають різні страхові ренти (ануїтети), наприклад пожиттєва сплата пенсії (до смерті клієнта) (life annuity). При рента називається безстроковою (довічною) (perpetuity). Якщо період ренти співпадає з періодом конверсії %, то рента називаєтсья простою, а в противному разі - загальною. По відношенню початку терміну ренти та обраного моменту, що передує початку ренти, ренти поділяються на миттєві та відкладені (instant and differed annuity).

Головними розрахунками, пов'язаними з потоками платежів та рент є методи обчислення нарощених сум (майбутньої вартості) та сучасної вартості (на момент t0). заданого потоку платежів. Розглянемо загальну постановку задачі. Припустимо, що є потік платежів Yk, що сплачуються через час tk після початкового моменту часу, . Загальний термін виплат складає одиниць часу (напр., років). Необхідно визначити нарощену суму на кінець терміну, коли проценти нараховуються раз на одиницю часу за складною ставкою . Тоді очевидно, у випадку ренти постнумерандо (що вказується індексом 1 в позначеннях) при

де дисконт-фактор.

Сучасна вартість потоку платежів є його узагальненою оцінкою на деякий попередній момент часу (у миттєвої ренти - на початок терміну). Нарощена сума (майбутня вартість) - це оцінка потоку на кінець терміну. Очевидно, що між та існує проста функціональна залежність:

3.2 Постійні ренти пренумерантдо та постнумерандо

Довічні ренти.

Безпосереднє використання загальних формул розрахунку типу (1) та (2) при великих n та їх загальний аналіз є ускладненими. У випадку постійних рент вирази (1) та (2) можна значно спростити та компактизувати.

Позначаючи випадок ренти пренумерандо індексом 0 (зокрема,

, ,

виведемо спрощені формули для та постійних рент та . Для спрощення будемо приймати, що та , , а

.

Тоді для ренти пренумерандо маємо.

Для ренти постнумерандо маємо

Для вартості рент з одиничними виплатами в актуарній та фінансовій математицi застосовують спеціальні позначення:

тобто

Нарощені вартості в моменти n рент постнумерандо та пренумерандо з одиничними виплатами позначаютсья відповідно як

Звідси

Величини та називають коефіцієнтами дисконтування, а та - коефіцієнтами нарощення рент. Якщо величина процентної ставки фіксована, то в нижньому індексі часто пишуть замість просто .

Корисність та зручність введених величин полягає в тому, що в загальному випадку

Наведені позначення введені наприкінці ХІХ ст. Міжнародним Союзом Актуаріїв.

Вкажімо основні властивості коефіцієнтів дисконтування та нарощення рент, залишаючи їхню перевірку читачеві як самостійну вправу.

Якщо , тo і для довільних .

Випадок трактується як відсутність виплат і тому звичайно приймається, що .

, n1 .

, .

При довільних та , , .

При та довільному , .

,.

Якщо та необмежено зростає, тo

Останній граничний випадок, коли відповідає довічним (безстроковим) рентам. Коефіцієнти дисконтування таких рент мають наступні властивості:

А.

В.

Приклад 1. Кредит в сумі 5 млрд. грн. погашується 12 рівними щомісячними внесками. Процентна ставка за кредитом в місяць. Знайти щомісячний внесок при платежі; а) постнумерандо; б) пренумерандо.

а) для внесків постнумерандо знаходимо з рівняння еквівалентності: млрд. Оскільки , то грн.

б) для внесків пренумерандо знаходимо з рівняння еквівалентності: . Оскільки , то

грн.

Приклад 2. Нехай щорічно сплачується безстрокова рента з грн. Знайти ренти постнумерандо й пренумерандо з і . Тут , .

Оскільки , тo, . Тому постумерандо складає відповідно та грн., а пренумерандо - та грн.

Приклад 3. Знайти суму вкладу на рахунок недержавного пенсійного фонду, щоби він сплачував за ним своїм клієнтам щомісячно грн. Фонд інвестує свої кошти за сталою ставкою в місяць.

Тут доцільно наближено використати модель безстрокової ренти з щомісячним платіжом грн при . Застосуємо схему виплат наприкінці та початку кожного місяця. В першому випадку маємо

грн.,

а в другому

грн.

Приклад 4. Знайти довічних рент пренумерандо і постунумерандо, де сума в сплачуєтсья разів на рік.

Позначимо відповідні ренти як і . Тoді

Якщо є неперервний безстроковий потік платежів з інтенсивністю виплат , що починаєтсья в момент 0, і сила росту процентів є , то відповідна сучасна вартість такої неперервної довічної ренти та її коефіцієнт дисконтування (що відповідає випадку ) складають

Якщо є щорічна довічна рента з довільними платіжами (в моменти 0, 1, 2,…), то її є рядом Таку ренту можна зобразити сумою постійних довічних рент, де перша має член з моменту 0, друга - член з моменту 1, третя - член з моменту 2 тощо. Тоді початкової змінної довічної ренти виражається згідно з вищевказаними результатами у вигляді

Цей вираз є корисним, коли різниці величин Rk більш прості ніж самі .

Приклад 5. Нехай є зростаючий безстроковий потік платежів, що має експоненційний ріст , Знайти цього потоку при умові, що .

Маємо, що

.

3.3 Відстрочені, - кратні та неперервні ренти.

Найпростіші змінні ренти.

Розглянемо узагальнення базових рент попереднього параграфу, коли 1-ша з послідовності одиничних виплат відбуваєтсья в момент для пренумерандо і в момент , для постнумерандо, де додатній час, яким в силу його малості можна практично нехтувати. Подібний поток платежів називаєтсья відстроченою на одиниць часу рентою, а його в момент 0 позначають як для виплат постнумерандо, , . При відстрочена рента збігається з базовою.

Оскільки

то при начисленні відстроченої ренти можливо використовувати формули (7) з пункту 3.2 при довільних значеннях , включаючи дробові. Разом з тим при будь-яких цілих та

Таким чином, при цілому для обчислення коефіцієнтів дисконтування відстроченої ренти можливо використовувати як (1) так і (2), а при довільному , включаючи дробові, тільки (7) з 3.2. З фінансових міркувань, коефіцієнти дисконтування (1)-(2) відстроченої ренти при збігаються з та .

Розглянемо тепер - кратні ренти. Нехай за рік відбуваєтсья рівновіддалених виплат з грош. од. кожна, причому % нараховуються також разів, Загальне число виплат за років є , а загальна їх сума при складає грош. од. Для ренти постнумерандо виплати відбуваються та проценти нараховуються в моменти

а для ренти пренумерандо - моменти

Передостання операція постнумерандо і остання операція пренумерандо відбуваютсья в момент .

Позначимо коефіцієнти дисконтування рент та у випадку виплат і конверсій відповідно через та , а коефіцієнти нарощення - та . Для спрощення іноді опускаємо індекс в проміжних результатах.

Приводячи вартість виплат в до моменту 0, маємо

.

Оскільки , то за формулою зв'язку з

.

Отже,

Аналогічно

.

Тому, як це випливає з фінансових міркувань,

Проводячи подібні підрахунки для , отримаємо

(пропонуємо читачеві як вправу довести це). Граничний перехід в (5) і (6) при та дає рівності

що узагальнює відповідні результати для однократних рент на -кратні. Потрібно зауважити, що -кратна рента з та номінальною річною ставкою еквівалентна однократній ренті з періодом років, та ставкою за період та терміном періодів, бо через рівність маємо, що .

Нехай на інтервалі часу рента сплачується так часто, що її практично можна вважати неперервною, коли різниця між схемами постнумерандо і пренумерандо щезає. Позначимо неперервної ренти з постійною інтенсивністю 1 гр.од. за одиницю часу при неперервному нарахуванні % з постійною інтенсивністю через . Оскільки за інтервал часу при малому буде сплачено гр.од., а приведена на момент 0 цієї суми є , то після підсумовування по інтервалу та переходу до границі при маємо, що

де - будь-яке невід'ємне число (необов'язкове ціле). Якщо , то , що узгоджується з елементарними фінансовими міркуваннями. Оскільки при неперервній конверсії , та при з (8) випливає, що

Нехай h довільне дійсне невід'ємне число, а - відстроченої на неперервної ренти з інтенсивністю 1 на інтервалі часу . Тоді

Тобто відстрочену неперервну ренту можна виразити через миттєву:

.

Міркуючи, подібно до виводу формули (8) маємо для коефіцієнтів нарощення неперервної миттєвої ренти рівність ,

звідки

З (9) ,

та при довільних

і

Використовуючи, що при довільних

маємо з (11), що ,

На заключення параграфу розглянемо ще найпростіші випадки змінних рент, коли їхні члени змінюються за арифметичною та геометричною прогресією.

Якщо члени ренти R0 змінюються у арифметичній прогресії , де перший член і - різниця прогресії, то її є

.

Якщо члени ренти змінюються у геометричній прогресії ( - знаменник прогресії), то її є

.

Читачеві пропонується довести останні дві рівності як вправу.

3.4 Задача оцінки інвестиційних та комерційних проектів

Узагальнені моделі потоків платежів.

Теорія інвестицій (капіталовкладень) є складним та цікавим розділом фінансової теорії та фінансової математики. Ми далі розглянемо деякі відносно прості методи аналітичної оцінки ефективності інвестиційних та інших комерційних проектів, де спочатку вкладаються кошти в деяку сферу (виробництво, будівельну галузь, торгівлю, цінні папери тощо), а потім вони поступово повертаютсья, приносячи інвестору певний прибуток. Задача інвестора - на базі даних про проекти до їх початку та відповідному прогнозі на період реалізації проектів вибрати оптимальний варіант вкладання своїх грошей, оцінивши доходність проектів. Це складна задача, що містить в собі ряд моментів невизначеності та ризику.

У відповідному фінансовому аналізі доцільно йти від простих моделей до більш складних, що враховують більшу кількість факторів та параметрів. Тут розраховані на широке застосування моделі не повинні бути занадто складними. Навіть прості моделі разом з експертними оцінками динаміки майбутніх значень показників дозволяють отримувати оцінку доходності проекту, що вивчається для прийняття рішення про інвестування. Ми не будемо користуватися тут складними ймовірнісними моделями, залишаючись у сфері детермінованих методів. Для цього нам необхідно побудувати модель детермінованого потоку грошових видатків та надходжень у інвестиційному проекті, що розглядаєтсья з різними за знаками та величиною платіжами спочатку в дискретному, а потім в неперервному варіанті.

Почнемо із узагальнення дискретного потоку платежів, що вивчався раніше.

Нехай є деякий інвестиційний проект, що починаєтсья в момент часу з капіталовкладаннями грош.од., а потім в моменти часу , відбуваютсья видатки і/або надходження (доходи) грош.од. - транзакції. Вважаємо, що обрана одиниця часу (напр.рік) та взагалі кажучи .

Введемо вектори , , та позначимо потоки видатків і надходжень відповідно через та

Тоді цих потоків відповідно дорівнюють

,

,

де - коефіцієнт дисконту на інтервалі .

У фінаналізі для інвестора його видатки вважаються від'ємними величинами, а доходи - додатними. Тоді - початкова інвестиція, а - нетто-платіж інвестора у момент (при це видаток, при дохід). Тепер можна розглянути один нетто-потiк , . Чиста PV (Netto Present Value=NPV) цього потоку складає

Аналогічно, чиста AV (Netto Accumulated Value=NAV) потоку на довільний момент складає

Зокрема, при oтримаємо з (2) всіх платежів потоку

Звичайно при оцінці проекту його доходність порівнюють з середньоринковою (тобто тією що панує на ринку в момент аналізу проекту). Тут при визначенні короткострокових ринкових ставок доходності звичайно орієнтуютсья на ставки банківського % , а для середньо та довгострокових інвестицій - на показники доходності за державними цінними паперами з відповідним терміном погашення. Це в першу чергу стосуєтсья інвестицій у цінні папери. Якщо ж аналізуєтсья проект інвестицій у виробництво, будівництво, торговлю тощо, то необхідно використати середньогалузеві показники доходності аналогічних по класу підприємств.

Враховуючи, що завжди , та при неперервному нарахуванні % з інтенсивністю на рік

а при для довжини інтервала часу при

маємо в цьому випадку просту форму формул (1)-(3)

Розглянемо тепер модель неперервного потоку платежів. Часто у фірми поряд з великими та рідкими платіжами (скажімо, щомісяця) відбуваються часті невеликі видатки (щоденно), які при теоретичному аналізі можна описувати моделлю неперервного потоку платежів. При помірних ставках це дає невелику методичну похибку підрахунку але розрахунки стають прозорими та простими. Більші похибки в прогнозі та вносять похибки у оцінки величини платежів та . Приймемо за базову одиницю часу рік і те, що на видатки відбуваютсья неперервно з інтенсивіністю грош.од. на рік, а платежі - неперервні з інтенсивністю в рік, . Тоді неперервна інтенсивність нетто-потоку платежів в момент є . Отже величина платіжу на малому інтервалі приблизно дорівнює

(тут відповідає видаткам, доходам, нейтральному стану).

Вважаючи, що і неперервні або кусково-неперервні функції, шляхом розбиття інтервалу часу на малі проміжки при , підсумовуванню відповідних платежів та граничному переходу при , маємо, що сума всіх платежів на є інтегралом

звідки платіж на інтервалі, є

Якщо , то на проміжку сумарний платіж при малому має наближення

.

Тому дисконтування його на момент 0 приблизно становить , а після підсумовування по розбиттю на такі малі проміжки та граничному переходу при маємо, що дисконтоване значення всього неперервного потоку нетто-платіжів складає

Модель неперевного потоку дозволяє аналізувати проекти буз значних викладень та доходів на відносно коротких проміжків часу.

Для середньо- та довгострокових проектів потік готівки є змішаним поряд з великими платіжами, що відносно різні існують інтервали часу, де платіжі можна вважати практично неперервними. Тут необхідні дискретно-неперервні моделі потоку платежів на проміжку . Для побудови таких моделей потрібно задати: а) послідовного , , моментів і послідовінсть сум платежів в ці моменти; б) вказати підінтервали на , де неперервних платежів відмінна від 0. Тоді через формули (1) та (8) на момент 0 змішаного дискретно-неперервного потоку платежів буде

Аналогічно, цього потоку в момент є



де - коефіцієнт нарощення на .

Зауважимо, що формально математично коефіцієнти нарощення та дисконтування взаємозамінні, бо при

через властивість інтегралу

та формули

, .

Розглянемо тепер зрівноважуючий час для серії позичкових платежів. Нехай боржник зобов'язався погасити борг послідовними платіжами величиною в моменти відповідно. Тобто є однобічний потік платежів . Сума всіх недисконтованих платежів є , а вага в ній s-того платіжу , .

Боржник пропонує кредитору погасити борг одним платіжом в момент . Кредитор пропонує боржнику (дебітору) зроботи платіж x в момент , що визначається з умови еквівалентності потоків платежів та при відомому , тобто в момент . Момент називаєтсья зрівноважуючим часом для даного потоку платежів при фіксованому .

Задача. Показати, що при , тобто вигідніше для боржника, а - для кредитора.

3.5 Внутрішня норма доходності інвестиційного проекту

Для вибору найкращих варіантів вкладання коштів застосовують кілька розроблених методик. Найчастіше вони засновані на застосуванні таких 4-х показників порівняння варіантів: 1) чиста поточна вартість; 2) внутрішня норма доходності; 3) період окупносіт; 4) індекс рентабельності.

Першим показником є проекта, що співпадає з відповідного потоку платежів, що була вже розглянута. Дійсно, каже про недоречність для інвестора відповідного варіанту потоку платежів при даних, та . Серед варіантів з потрібно обирати той, де більша, але це потрібно ще порівняти із вкладанням грошей на банківський депозит, що може бути більш рентабрельним і до того ж значно менш ризиковим.

Для цієї мети прислуговує інший показник - внутрішня норма доходності (Internal Rate of Return=IRR): , де є коренем рівняння

яке називається рівнянням вартості або доходності проекту на момент 0. Смисл рівняння (1) той, що на момент потоку видатків та потоку доходів збігаються, тобто прокет при є безприбутковим.

Якщо у рівняння (1) є єдиний додатний корінь , то він називається ставкою доходності проекту або внутрішньою нормою доходності (IRR) за базову одиницю часу. Якщо , де - ринкова ставка процента, то проект потрібно відхилити, а при він потенційно гідний, але серед таких варіантів, потрібно обрати варіант з найбільшим значенням .

Якщо поток платежів заданий, то

недисконтована сума всіх нетто-платежів на термін проекту. З фінансових міркувань та сенсу випливає, що потрібно відхилити всі варіанти з та розглядати тільки варіанти з . Далі при дуже великих маємо:

,

де початкова інвестиція.

Приклад 1. Нехай в момент 0 інвестор вкладає у проект суму грошей , розраховуючи отримувати наприкінці кожного року сталу суму доходу де - норма доходності за 1 рік.

Обчислимо . Тут рівняння (1) приймає вигляд полінома від :

де - коефіцієнт дисконтування. Оскільки , то після підстановки та скорочення на маємо . Очевидно, що - єдиний корінь цього полінома, що є IRR проекта.

Приклад 2. Нехай є схема погашення боргу , що взятий на років за річною ставкою з умовою виплати наприкінці кожного року процентів в сумі та повертанням наприкінці року первісної суми боргу . Тоді за допомогою ренти постнумерандо (3) можна записати у вигляді . Скорочуючи, обидві частини рівності на отримаємо формулу , що еквівалентна рівності (*) прикладу 1.

Має місце таке твердження про достатні умови існування IRR.

Пропозиція. І. Якщо у потоці всі від'ємні платежі передують всім додатним або навпаки, то визначена. ІІ Більш загально, нехай та

- накопичена сума всіх нетто-платежів інвестора від моменту до включно. Якщо , і після виключення нульових значень послідовність має рівно одну зміну знаку, то рівняння доходності (1) має єдиний додатний корінь, тобто - визначена.

Доведення цього можна знайти у [25]. Зауважимо, що потік платежів прикладу 1 задовольняє умови пропозицій. Зауважимо ще, що рівняння вартості можливо подати у вигляді та звести задачу до знаходження коренів полінома з цілими степенями змінної або якщо обрати базову одиницю так, щоб всі були цілими числами.

3.6 Термін окупності капіталовкладень,індекс рентабельності інвестиційного проекту та врахування інфляції

Третім показником ефективності інвестиційних проектів є термін окупності капіталовкладень (payback period), за котрий можна повернути інвестовані в проект кошти.

Розглянемо випадок дискретного потоку платежів та приймемо, що всі платежі віднесені до середини місяця (або іншої базової одиниці), причому інвестиції робляться у перші місяць, а потім йдуть доходні місяці:

.

Тоді загальний обсяг інвестицій , а термін окупності без приведення сум грошей до одного моменту часу можливо знайти шялхом послідовного акумулювання щомісячних доходів, поки вони не перервищують :

.

Інакше кажучи, термін окупності задовольняє нерівність

В найбільш простому випадку, коли інвестиції у розмірі |c0|=k здійснюються тільки раз, а всі надходження рівні c1 умови (1) мають вигляд

В більш складному, але краще обгрунтованому варіанті потрібно спочатку привести всі грошові суми до одного моменту часу - моменту завершення інвестицій, а потім визначати термін окупності проекта. Це вточнене значення (present value payback period) буде більше за первісне.

Індекс рентабельності (benefit cost ratio або Present Value Index) проекту є відношенням суми всіх дисконтованих грошових доходів від інвестицій до суми всіх дисконтованих інвестиційних видатків.

Якщо індекс менший , то проект відхиляєтсья. а серед проектів з індексом перевага віддається проекту з найбільшим індексом, але він може мати не найбільшу .

Приклад. Нехай є проекти і . Для всіх доходів є , а інвестиції становлять . Для відповідно та . Відомо, що проекту більше за те, що є у .

Тоді індекси рентабельності цих програм відповідно дорівнюють

.

Тому за рентабельностю більш переважний. Але дозволяє інвестувати більше коштів і має більшу , тобто економічно він може бути більш вигідним. Отже iндекс рентабельності не є однозначним критерієм ефективності проекту.

Зупинимося тепер на врахуванні інфляції у інвестиційних проектах. Розглянемо простий випадок, коли інвестор може одержати або дати кредит під однаковий процент та його можливості одержати кредит необмежені. Рівень інфляції для різних компонентів майбутнього потоку платежів, взагалі кажучи, може бути різним (напр., зарплата може зростати більш повільно ніж ціна на матеріали).

Розглянемо випадок, коли всі компоненти платежів за період мають ту ж інфляцію з прогнозною ставкою (темпом) за базову одиницю часу. Припустимо, що всі платежі індексуються із врахуванням , так що прогнозні оцінки

, i

для параметрів дискретно-неперервного потоку платежів приймають вигляд:

, .

Тому дисконтована на момент 0 вартість потоку платежів при ставці за базову одиницю часу складає

де визначаєтсья рівністю

,

тобто можна інтерпретувати як ставку % із врахуванням інфляції, причому при інвестиції не мають смислу.

Якщо ж причому та достатньо малі (наприклад, не перевищують 0,05-0,1), то з порівняння формул (2) та (1) з 3.5. дають

де справа інфляцію враховано переходом від до .

Позначаючи IRR в лівій частині (4) через , а справа через маємо

.

Звідки , де ставка доходності проекту без врахування інфляції. Якщо досить мале, то .

На закінчення зробимо декілька загальних зауважень про методику вибору інвестиційного проекту.

Подані чотири фінансових показники ефективності проектів не дозволяють однозначно вибирати один з можливих варіантів інвестувань. Тому застосовуючи такий підхід.

Перш за все всі суми, що враховуються вивільняють від податків. Потім, якщо для фірми особливо важливий період окупності, то спочатку на його основі відхиляють всі неприпустимі варіанти. Якщо цей показник не важливий, то його зовсім не застосовують. Далі застосовують два з трьох показників, , IRR та норму рентабельності. Аналітики фірми на основі досвіду фірми ранжують ці показники. Наприклад, в США частіше за все віддають перевагу парі IRR-, а на другому місці пара -IRR. Якщо ж при виборі проекту за допомогою обраної пари зустрічаютсья помітні розбіжності, то застосовують ще й третій показник або проводять поглиблений аналіз проблеми.

Західний досвід показує, що крупні фірми використовують висвітлений апарат фінаналіза значно частіше, ніж дрібні. (для дрібних фірм проекти є дрібномаштабними та більш очевидними для аналізу).

Задачі та вправи

1. Визначити нарощену наприкінці 6 року суму від постійної ренти постнумерандо з членом 15 тис. грн. при ставці в 20% річних.

2. Яку суму необхідно внести у банк (пенсійний фонд), щоб довічно одержувати наприкінці кожного року ренту в 10 тис. грн. при річній ставці 5%?

3. Правило об'єднання рент: знаходяться PV рент складових і підсумовуються, а потім підбирається рента сума з такою ж PV і потрібними іншими параметрами. Знайти ренту суму для двох річних рент: перша терміном 5 років з членом 1000, а друга -5 і 800. Річна ставка - 8%.

4. В суді з'ясувалося, що з вини Пенсійного фонду пану N протягом 10 років недоплачували 100 грн. пенсії щомісячно. Суд зобов'язав фонд виплатити гроші з процентами (12% річних). Яка сума виплати?

5. Чи може PV скінченої річної ренти бути меншою її річного платіжу.

6. В потоці платежів дозволяється переставляти платежі. Як їх потрібно переставити, щоб потік мав найбільшу PV? Чи має це якесь практичне значення?

7. Інвестиційний проект передбачає початкову інвестицію в 4000 грош. од. З наступним грошовим доходом при 8% в 1000 г.о., термін проекту - 6 років. Знайти NVP та термін окупності.

8. Розглянути задачу створення з доходів фонду для погашення інвестиційного кредиту. При цьому в банку береться кредит під проект зі ставкою i, доходи від проекту розміщуються в інший банк з більшою ставкою j. Розрахувати підсумкові характеристики (необхідні дані - за вашим розсудом).

Глава 4. Проблеми оцінювання цінних паперів і моделювання динаміки їх вартості

4.1 Цінні папери. Оцінювання акцій і парадокс Модільяні-Міллера

Цінні папери (ЦП) є найважливим класом сучасних фінансових інструментів, які представ-ляють грошові документи, що підтверджують право володіння або кредитних відносин й ін-ших фінансових зобов'язань і визначають взаємовідносини між їхнім емітентом та власни-ком , а також, як правило, передбачають виплату доходу у вигляді дивидентів або процентів і можливість передачі грошових й інших прав, що випливають з цих документів третім осо-бам. Звичайно ЦП поділяють на 3 класи: 1) пайові ЦП ( різні типи акцій); 2) боргові зобов'язання (облігації, сертифікати, векселі); 3) похідні ЦП або деривативи (форвардні контракти, фьючерси, опціони). Акції - це ЦП, які випускаються акціонерним підприємством (товариством) - звичайно це компанія або корпорація - і дають право: 1) на частку основного (статутного) фонду підприємства; 2) на одержання частки доходу від діяльності підприємства; 3) на участь в управлінні підприємством. Боргові зобов'язання підтверджують позичкові відносини між інвестором (кредитором) та емітентом (особою, що випустила документ). Деривативи закріплюють право їх власника на продаж або купівлю основних ЦП або деяких стандартизованих товарів в майбутньому.

Акції є ЦП без встановленого строку обігу, який свідчить про внесення акціонером коштів на здійснення діяльності підприємства, дає йому право брати участь в розподілі прибутків й управлінні; розподілі залишків підприємства в разі його ліквідації. За ознаками обсягів реалізації прав акціонера акції поділяються на звичайні, конвертовані й привелійовані, а за способом відображення обігу - на іменні та на пред'явника. Оцінка акцій здійснюється за їхньою номінальною, теоретико-економічною, емісійною та ринковою ціною. Перші дві ціни є основою для визначення емісійної та ринкової цін, а також для розподілу дивидендів. Емітентом акція продається за емісійною ціною , а на вторинному ринку ЦП (де акцію продає інший інвестор) вона має ринкову ціну . Остання залежить від взаємодій попиту й пропозиції, дій трейдерів й спекулянтів фондового ринку, економічної кон'юнктури та багатьох інших чинників та нерегулярно (хаотично) коливається за своєю величиною.

На відміну від боргових ЦП з фіксованим доходом ефективність операцій з акціями може бути прогнозавана тільки умовно. Акції придбають щоб заробити на дивидендах, а також, можливо, на різниці між ціною в моменти купівлі й продажу. Власники досить великих обсягів акцій (пакетів) можуть мати реальний вплив на управління підприємством. Залежність ефективності від цін й дивидендів має вигляд де - ціна купівлі, - ціна продажу. Дивиденди виплачуються з прибутку і тільки власники контрольного пакету акцій вирішують яку частину прибутку направити на виплату дивидендів. Послідовність таких рішень формує дивидендну політику корпорації. Сума дивидендів на кожну акцію вельми цікавить акціонерів та тих хто вирішують питання про можливість придбання акції. Однак існує (досить обгрунтована) точка зору що ці хвилювання марні. У своїй знаменитій роботі Міллер і Модільяні))* Модільяні Франко (н.1918) американський вчений в галузі фінансової математики, лауреат нобелевської премії з економіки за 1985р. Міллер Мертон (н. 1923) американський вчений в галузі математичної економіки, лауреат нобелевської премії з економіки за 1990р.* (Miller M.H., Modigliani F. Dividend policy, growth and valuation of shares. - J. of Business, v. 3y, 1961, p. 411-433) висловили параксальне твердження: в умовах конкурентної економіки дивидендна політика не впливає на ефективність інвестування в акції. Цей ММ-парадокс викликав бурхливу дискусію, що не припиняється й досі. Подамо міркування Міллера-Модільяні в спрощеній формі.

Нехай в момент купівлі акції корпорація мала капітал поділений на акцій. Формально теоретична ціна акції - це частка капіталу, що припадає на неї: . За квартал фірма заробила прибуток , що складає частку від її початкового капіталу, та виділила частку з неї на сплату дивидендів, так що на кожну акцію припало . (Число акцій припускається незмінним). Капітал , що залишився у розпорядженні корпорації й здатний приносити прибуток, дорівнює . Нова ціна акції . Підставляючи ці вирази ціни й дивидендів у формулу ефективності, переконуємося, що вона не залежить від дивидендної політики і визначається тільки продуктивністю фірми:

Висновок формально бездоганний але викликає сумніви. Частина опонентів вказує на те, що реальна ефективність ринкової операції з акціями не дорівнює ефективності в “об'єктивних” цінах, бо ринкові ціни відрізняються від формально-теоретичних. Нехай інвестор не продає акцію. При зберіганні продуктивності фірми, капітал, вкладений в акцію, буде мати ефективність , що визначається тільки продуктивністю. Капітал, отриманий як дивиденд, можна вкласти в довільну ФО. Тому дивидендна політика фірми не має значення, якщо подібні капіталовкладення мають ту ж ефективність, що й капіталовкладення в дану фірму. Ця властивість ідеальної конкуренції економіки й забезпечує справедливість твердження Міллера-Модільяні. В реальній же економіці інвестор може вкласти дивидент і з іншою ефективністю, орієнтуючись на поточну кон'юнктуру.

Повернемось до оцінки акції. Можливо розглянути ситуації, коли акція не змінює власника, або ж зосередитися на власній ціні акції незалежно від власника. Все що отримує власник - це дивиденти, що надходять в різні моменти і тому потрібно враховувати їх дисконти. Приведена до початкового моменту (купівлі акції) сума дивидендів дає теоретичну оцінку акції , де - ставка процента реінвестиції дивидентів, а - дивидент за квартал Найпростіший прогноз дивидендів базується на припущеннях про незмінність продуктивності капіталу корпорації та її дивидендної політики. Тоді капітал за кожен квартал змінюється з коефіцієнтом росту та через кварталів стає , а відповідний дивиденд за квартал є , Тепер можливо обчислити прогноз ціни акції як PV потоку дивидендів

Тобто прогноз ціни акції відрізняється від її формального значення як частки капіталу корпорації множником і залежить від дивидендної політики - коефіцієнта Однак, коли акціонер не може досягти більшої ефективності, реінвестуючи дивиденди в інші ФО, то він вкладає їх в акції тієї ж корпорації. Тоді , і прогнозна ціна не залежить від дивидендної політики, співпадаючи з формальними значеннями. Оскільки в умовах ідеальної конкуренції економіки відсутня можливість більш ефективних конкурентних вкладень, то ММ - парадокс тоді є виправденим.

Ми не будемо торкатися тут проблем оцінювання боргових ЦП, які в цілому є менш складними ніж для акцій. Відповідні результати можна знайти у книгах [5], [12], [20].

4.2 Проблема прогнозування динаміки цін ЦП. Фінансова інженерія, технічний і фундаментальний аналіз

Проблема моделювання динаміки цін ЦП та їхнього прогнозування є вельми складною, що знаходиться далеко від свого розв'язання в теперішній час. Під впливом ринкових сил ці ціни хаотично коливаються в часі. В різних розділах сучасної фінансової математики та фінансової інженерії поширені різні погляди й підходи до вказаної проблеми.

Так, наприклад, в сучасній стохастичній математиці, що займається аналізом деривативів, основною концепцією, на якій будується поняття ефективного ринку є припущення про те, що ціни миттєво асимілюють нову інформацію і встановлюються таким чином, що не дають можливостей “десь купити дешевше а в іншому місці негайно продати дорожче”, тобто не створюють, як прийнято казати, арбітражних можливостей.

В главі 6 висвітлено як концепція раціонально побудованого, правильно функціонуючого фінансового ринку втілюється в те, що (нормовані) ціни акцій на такому ринку описуються спеціальним типом випадкових процесів - мартингалами, що відповідає тому економічному припущенню, що в цих умовах найкращий (в середньоквадратичному сенсі) прогноз майбутньої ціни є її теперішнє значення (тобто прогноз носить тривіальний характер). В той же час в економетриці фінансових ринків і в фінансовій інженерії робляться значні зусилля в побудові адекватних моделей динаміки цін ЦП та прогнозуванні цін на базі спеціальних методів аналізу емпіричних даних. Коротко торкнемося з'ясування ймовірнісно-статистичної структури цін як випадкових процесів.

Нехай - випадковий процес з дискретним часом , що описує зміну ціни акції і . Якщо випадкова послідовність є мартингалом відносно потоку -алгебр подій , що породжується цінами , тобто умовні сподівання , то величини утворюють мартингал-різницю і при умові є некорельованими: .

Але це не означає незалежності і некорельованості або . Аналіз даних фінансових ринків свідчить, що так і є: послідовності і є корельованими і, крім того, спостерігається ще й феномен кластерності (зкученості) величин по групах з великими й малими значеннями. Припущення що , де - незалежні стандартно нормальні ВВ, і неадекватно до реальних даних і тому припускається що є - вимірними невід'ємними ВВ. Величини називаються волатильностями (мінливостями) цін. Отже реальні волатильності є стохастичними (випадковими). Таким чином задача зводиться до “правильного” опису властивостей . Перша нелінійна модель часових рядів для опису ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity- авторегресійна умовна неоднорідність), введена в 1980 р. Р.Енгелем; за якою , дала можливість “ухопити” ефект кластерності. ARCH-модель породила велику кількість споріднених моделей часових рядів, створених для опису й інших ефектів реальних статистичних даних. Найбільш відома серед них GARCH-модель (generalized ARCH), введена Т. Боллерелевом в 1987 р., в якій

.

Подібний шлях базується на надії збудови при такому підході нетривіальних нелінійних прогнозів і разом з тим цін .

В сучасній статистиці фінансових ринків і в сучасній інженерії поширені й числені інші підходи до моделювання динаміки цін . Зокрема, різноманітні моделі нелінійних часових рядів, що застосовуються безпосередньо до процесів , методи статистичного моделювання Монте-Карло тощо. В той же час серед реальних учасників фондового ринку (дилерів, брокерів, трейдерів й фінансових спекулянтів) надзвичайно широко застосовуються такі методи фінансової інженерії як фундаментальний та технічний аналіз фінансових ринків. Такі фінансові експерти як “фундаменталісти”, “техніки”, “кількісні аналітики” впевнені в можливості передбачення “майбутнього руху цін ЦП”, напрямів й величин майбутніх значень цін, відносно того, акції яких компаній і коли слід купувати й продавати.

Взагалі існують три головних методи практично-емпіричного, частково алгоритмизованого й наділеного кількісними індикаторами підходу до аналізу фондових ринків: фундаментальний аналіз, технічний аналіз та інтуїтивний підхід до аналізу. Фундаментальний аналіз вивчає рух цін ЦП за допомогою врахування числених макроекономічних, мікроекономічних та менеджеріальних чинників. Він сприяє визначенню можливого тренду (тенденції) динаміки ринкових цін, але для визначення конкретних моментів здійснення ФО та угод його як правило недостатньо через хаотичні коливання цін (так званих “цінових тиків”). Тут застосовується технічний аналіз. Одним із головних принципів останнього є врахування того, що ринкові ціни відображують (разом із впливом інших чинників) сподівання й дії всіх учасників ринку. В результаті ціни й обсяги продажу відображують кожну операцію, здійснену численною армією трейдерів. Інтуїтивний підхід до аналізу сповідується незначною кількістю трейдерів і засновується на їхньому досвіді та інтуїції. Цей підхід, як правило, не призводить до довгострокових успіхів.

Якщо основне завдання школи технічного аналізу- розробка технологій і методів (в основному графічних й кількісних) зглажування спекулятивних коливань цін, то головна задача школи фундаментального аналізу - формування й прогнозування нових трендів динаміки цін. Сполучення обох підходів в цілому дозволяє знижувати ризик ФО та підвищувати їх ефективність. При цьому кваліфіковані трейдери використовують й інші аналітичні й технологічні інструменти сучасної фінансової інженерії й аналізу (напр., економетричні методи, методи нейронних сіток, методи імітаційного статистичного моделювання тощо) для прийняття стохастичних фінансових рішень.

Логіка фундаментального аналізу базується на тому, що існує можливість оцінити “справжню” (або “внутрішню”) вартість ЦП, і що ринок з часом більш-менш “правильно” оцінить цю “внутрішню” вартість. Такий аналіз бере до уваги всі суттєві макро- і мікроекономічні чинники, включаючи інвестиційну привабливість даного сегменту ринку, галузі, підприємства, ретельне вивчення фінансово-господарського становища підприємства та перспектив його діяльності. І на базі цього будує прогнози кон'юнктури ринку, його сегментів, місця підприємства в галузі, його майбутнього фінстану, прибутковості тощо з врахуванням теорій “життєвого циклу” галузей, підприємств та їхньої продукції. Числені агенства й аналітики фондового ринку здійснюють рейтингові оцінки підприємств та їхніх ЦП за різноманітними складними методиками, що включають різні статистичні показники, коефіцієнти, індикатори тощо.

Технічний аналіз розробив численні графічні методи візуалізації цінової динаміки та короткочасних трендів цін включаючи “біржові графіки”, “лінійні графіки цін закриття”, “точкові діаграми”, “діаграми японських світників” тощо, методи аналізу цих графічних зображень, які включають зглажування цінових коливань, аналіз різноманітних ринкових станів і “графічних фігур” (“плечові моделі”, “блюдця”, “прямокутники”, “прапори”, “клини”, “V-формації” тощо). Кількісні меттоди технічного аналізу використовують численні кількісні показники й індикатори руху цін, включаючи різноманітні рухомі середні (“мувінгси”), індекси відносної сили- RSI, “стохастики”, MACD, DMI, показники розбіжності -“дивіргентси” тощо. Значне місце в сучасному технічному аналізі зайняла “хвильова теорія Елліота” цінової динаміки, що спирається на аналітичний апарат, пов'язаний з числами Фібоначчі. Значне місце в технічному анвлізі віддається психології учасників фондового ринку, методам управління капіталом трейдерів та їхній торговельній тактиці. Для більш детального ознайомлення з технічним й фундаментальним аналізом можна звернутися, напр. до посібників [9], [14].

Глава 5. Стохастичний аналіз портфельних інвестицій. Теорії портфелю Марковітца й Тобіна, моделі САРМ і АРТ

5.1 Портфель цінних паперів та його характеристики

Розглянемо ФО, що полягає у покупці ЦП по відомим цінам і продажу їх в майбутньому по зарані невідомим ринковим цінам (при цьому інвестор, маючи ЦП може розраховувати на одержання деяких проміжних виплат, напр. дивідендів на акції, теж зарані невідомих). Емпіричний досвід, накопичений економічними агентами на фінансових ринках ЦП, знайшов своє втілення у таких відомих висловах як “Don't put all your eggs in one basket”, “Nothing ventured, nothing gained” (“Не складай всі яйця до одного кошика”, “Не ризикуючи не виграєш”). Подібні ідеї застосування випадковості, а не уникання її та диверсифікації ризиків при цьому й лежать в основі підхода. Г. Марковітца* Марковітц Гаррі (н. 1927 р.) -американський вчений у галузі математичної економіки, лауреат нобелевської премії з економіки 1990р.* до теорії портфельних інвестицій, викладеного ним в 1952р. в роботі “Portfolio selection”, опублікований в “Journal of Finance” vol. 7, №1, p. 77-91, що відіграла визначну роль у становленні теорії й практики фінансового менеджменту, фінансової інженерії й фінансової математики. Метод дослідження портфельних інвестицій, запропонований Марковітцем отримав назву “середньо-дисперсійного аналізу” (mean-variance analysis).

Модель портфельних інвестицій грунтується на таких припущеннях: 1) інвестор прагне сформувати оптимальний (в певному розумінні) портфель з багатьох ринкових активів (а не інвестувати, напр., в один тип акцій чи певну галузь економіки); 2) інвестиційний горизонт є визначеним; 3) не враховуються накладні витрати (типу комісійних брокерам, витрати на переєстрацію прав власності тощо). В моделі інвестор, маючи певний капітал на початку періоду, формує в момент часу портфель зі скінченної кількості різноманітних активів на термін інвестиційного горизонту . В кінці періоду він реалізує всі активи портфелю, перетворюючи його в капітал (в грошовій формі). Купівля й продаж активів здійснюється за ринковими цінами, а відносна доходність (ефективність) інвестиції , де - фіксована величина, а - випадкова величина (ВВ), через що й R є ВВ.

Ймовірнісна модель відповідного ринку ринкових активів - ЦП включає: 1) - ймовірнісний простір, що описує множину станів ринку (при цьому елементарна подія відповідає певному стану ринку) 2) - сукупність активів (ЦП), які інвестор може залучити до портфелю; 3) ефективності цих ЦП, так що є ВВ, що характеризує відносну доходність ЦП ,

У інвестора є можливість обирати портфель з певної сукупності допустимих портфелів . Під портфелем розуміється -вимірний вектор , що характеризує розподіл початкового капіталу інвестора між активами, так що є часткою загального вкладення , що припадає на -тий вид ЦП, . При інвестор вкладає частку капілалу в -тий ЦП, а при він бере цей ЦП у борг в кількості - (на одиницю наявного капіталу), тобто бере участь у ФО типу short sale (“короткої продажі”).

Середньо-дисперсійний аналіз грунтується на використанні двох характеристик ВВ : їх середніх (математичних сподівань) , що інтерпретуються як сподівані ефективності (відносні доходності) вкладень в -тий ЦП, та їх дисперсій , що інтерпритуються як міри ризику вкладення в -тий ЦП. Часто замість використовують рівносильну характеристику - середньоквадратичне відхилення . Отже (або ) характеризують варіативності ефективностей вкладень у ЦП і загалом інвестор прагне обирати вкладення з якомога меншими .

Сутність середньо-дисперсійного аналізу полягає у дослідженні двох двоїстих критеріїв поведінки інвестора: 1) максимізації сподіваної ефективності за заданому рівні ризику; 2) мінімізації ризику, тобто показника , при заданому рівні ефективності . Отже такий аналіз досліджує пари . Загалом, щодо вибору між окремими видами ЦП, задача є типовою проблемою так званої багатокритеріальної оптимізації, що не має однозначно розумного розв'язання. Найпростіший принцип домінування, за яким найкращим є той ЦП , параметри якого задавольняють вимоги на практиці можливо застосувати дуже й дуже рідко, і, крім того, він не використовує взаємозв'язків між ефективностями ЦП. Як правило на реальних ринках інвестори мають справу з ситуаціями, де нема домінування. Наприклад, для двох ЦП, , є ситуація коли і (або але ). Вихід полягає у пошуках певних компромісних рішень, що полягають у оптимізаціях характеристик портфелю в цілому з використанням додаткової інформації про коваріаційні зв'язки окремих ЦП

Введемо такі характеристики, як загальна ефективність портфелю , що очевидно дорівнює сумі

сподівана ефективність портфелю



дисперсія ефекту портфелю

Зауважимо, що поряд з в аналізі портфелю також часто використовують коефіцієнти кореляції ,

Приклад 1. Нехай випадкові ефекти ЦП є некорельованими (зокрема взаємно незалежними), так що при . Тоді

Припустимо, що інвестор вклав свої гроші рівними частками = Тоді середній сподіваний ефект та ризик портфелю складуть величини

, .

Поклавши

маємо, що

.

Отже при зростанні кількості ЦП, що є статистично незв'язаними між собою, ризик ризик портфелю обмежений і прямує до нуля при (доцільно робити вкладення в більш різноманітні набори ЦП). Це наслідок відомого в теорії ймовірностей закону великих чисел. Але на практиці припущення незалежності ефектів окремих ЦП часто не виконується.

Приклад 2. Нехай інвестор може формувати портфель з 6 ЦП, сподівані ефективності й ризики яких відомі й задані наступною таблицею , а ефективності - некорельовані:

	1	2	3	4	5	6
	11	10	9	8	7	6
	4	3	1	0,8	0,7	0,7

Якщо інвестор вкладає капітал порівно в ЦП 1 і 2, то буде не набагато меншим, ніж при купівлі ЦП 1: , але буде меншим ніж у найменш ризикового з двох ЦП:

Наступна таблиця дає і портфелей, складених порівну з перших двох, трьох і т.д. ЦП, характеристики яких дані в табл.1.

n	2	3	4	5	6
	10,5	10	9,5	9	8,5
	2,5	1,7	1,23	1,04	0,87

Ясно, що диверсифікація (diversification) дозволила зменшити ризик майже втричі при падінні сподіваної ефективності на 20%.

Розглянемо тепер випадки залежності ЦП, що ілюструють вплив кореляції.

Приклад 3. Нехай всі (випадок прямої кореляції). Тоді

При рівномірній диверсифікації маємо, що

тобто ризик портфелю є середнім арифметичним ризиків окремих ЦП, і, отже, якщо , то діє така двохбічна оцінка ризику портфелю: .

Значить при повній кореляції диверсифікація не дає позитивного ефекту: ризик не зменшується при . Додатня кореляція між ефективностями ЦП має місце, коли їхні ринкові курси визначаються тим же самим фактором , причому він впливає на них в один бік. Наприлад, нехай зміна курсової оцінки акцій електричної і транспортної компаній і пропорційні зміні цін на нафту . Тоді ефективності гри на курсах цих компаній , де - початкові ціни акцій. Отже диверсифікація закупівлею обох типів акцій марна: ефективність портфелю випадкова й обумовлюється випадковістю цін нафти.

Приклад 4. Нехай є повна зворотня кореляція . Для розуміння сутністі досить розглянути портфель з двох ЦП (n=2). Тоді маємо, що

Отже, якщо , то (тобто портфель є безризиковим). Наприклад, при безризиковим буде портфель, в якому на кожні 3 ЦП виду 1 приходиться 2 ЦП виду 2.

Загальний висновок: при повній зворотній кореляції ЦП можливий такий розподіл вкладень між окремими видами ЦП, що ризик повністю знімається. Практично ж повна зворотня кореляція між ЦП є досить рідким явищем.

5.2 Задачі формування оптимального портфелю ЦП Марковітца та Тобіна

Задача формування оптимального портфелю Марковітца полягає у виборі часток ризикових ЦП в портфелі інвестора при відомих сподіваних ефективностях та коваріаціях всіх цих ЦП, які мінімізують ризик портфелю при заданому рівні його сподіваної ефективності . Припускаючи, що коваріаційна матриця векторів ефективностей ЦП є строго додатньо визначеною (так що і існує обернена матриця ) маємо таку задачу опуклого квадратичного програмування:

Є дві форми цієї задачі Марковітца: перша - більш проста для аналітичного дослідження- коли припускаються операції short-sale при купівлі ЦП (це означає, що нема додаткових умов на знаки величин ) і друга - більш складна, коли не дозволяються операції short sale (тобто всі ).

Якщо ввести вектор-стовпчик , вектор-стовпчик і одиничний вектор-стовпчик 1 розмірності , що складається з одиниць, то задачу (1) можна записати в більш короткій матричній формі:

де позначає операцію транспонування, так що є вектор-рядком

При припустимості операцій short sale відсутні додаткові обмеження на вектор і екстремальна задача (2) легко розв'язується застосуванням стандартного методу множників Лагранжа. Позначимо через функцію Лагранжа задачі (2): , де і - множники Лагранжа. Умова екстремуму дає рівняння звідки оптимальний портфель має вигляд

Підставляючи (3) до обмежень задачі (2) маємо два лінійних рівняння для знаходження невідомих множників Лагранжа і :

Розв'язавши (4) відносно і і підставивши знайдені значення і до виразу (3) знайдемо явний вираз оптимального портфелю

де

Зауважимо, що отриманий розв'язок (5) є лінійним відносно . Звідси випливає, що дисперсія портфелю є опуклою (вниз) функцією від , і таке ж твердження є справедливим і для ризику

При неможливості інвестора брати участь в операціях short sale (купляти ЦП в борг) до задачі (2) слід приєднати обмеження нерівність невід'ємності припустимих векторів

В такому разі уявлення про властивості розв'язку задачі (2) можна отримати застосовуючи загальну теорему Куна-Таккера про умови екстремуму загальної задачі опуклого програмування, що є фактично узагальненням методу Лагранжа. За деталями теореми Куна-Таккера і наступних, заснованих на ній результатах, ми посилаємо зацікавленного читача до книг [18] і [19]. В цілому сутність методу полягає в тому, що вводяться додаткові множники Лагранжа , де множник відповідає нерівності Розв'язок задачі (2), (7), виражений через ці множники має вигляд

де і визначаються рівностями

а множники і вектор задовольняють умови так званої “додаткової нежорсткості”

тобто або або При зміні змінюється й число змінних , що дорівнюють нулеві, але інші змінні визначаються з лінійної системи рівнянь, в яку входить лінійно. Ця властивість призводить до кусково-лінійної залежності в будь-якому діапазоні зміни . Залежність ризику від для задачі (2), (7) залишається опуклою, причому виконується природня властивість, за якою при більшій свободі правил гри можна досягти кращіх результатів (крива ризику при дозволі short sale лежить нижче ніж крива ризику при забороні short sale - рис.1).

В загальному випадку задачі без short sale (2), (7) явних формул для оптимального портфелю (які залежать тільки від параметрів задачі й не залежать від множників Лагранжа) отримати не вдається і тому тут використовуються численні добре розроблені обчислювальні методи нелінійного програмування.

В 1958 р. Д.Тобін знайшов, що розв'язання задачі вибору оптимального портфеля інвестора спрощується й набуває нових особливостей, якщо врахувати наявність на фінансовому ринку крім ризикових ЦП безризикових (або практично безризикових) ЦП типу урядових облігацій з фіксованим доходом або казначейських векселів і включити безризикове вкладання в подібний актив з часткою яку позначають як, а відповідну ставку доходності як (Tobin D. Liquidity preference as behavior toward risk. - Rev. of Econ. Studies, v.25, №1, p.65-86)))* Тобін Джеймс (н. 1918) - американський вчений в галузі математичної економіки, лауреат нобелевської премії з економіки 1981 року.*

Тому і в теорії і на практиці основною задачею є правильний розподіл капіталу між безризиковими й ризиковими вкладеннями. Позначимо через і сподівану ефективність і дисперсію ефективності всієї ризикової частини портфелю. Ефективність комбінованого вкладення (тобто об'єднаного портфелю з безризикової й ризикової частин з відповідними частинами та ) є випадковою: де - ефективність ризикової частини, а - процентна ставка (ефективність) безризикової частини. Тоді сподіване значення ефективності складає величину

а дисперсія визначається тільки ризиковою частиною й дорівнює

. Тому і

Це разом з (*) призводить до рівності

тобто зв'язок між і є лінійним (див рис. 2) (звичайно вважається, що ).



Якщо весь капітал вкладається у безризикові ЦП, то то ефективність є , а ризик є нульовим; якщо ж весь капітал вкладається у ризикові ЦП то сподівана ефективність складає , а ризик є Довільному проміжному рішенню відповідає одна з точок на відрізку прямої, що пов'язує граничні, прості рішення. Однак, якщо можливо брати безризикові папери в борг , то є досяжною будь-яка сподівана ефективність, що супроводжується відповідно зростаючим ризиком. Теорія тільки вказує, які будуть наслідки рішення інвестора.

Задача Тобіна вибору оптимального портфелю має вигляд:

Функція Лагранжа задачі Тобіна (10) дорівнює

де і - множники Лагранжа. Умови екстремуму

і

призводять до системи лінійних рівнянь для і і : , звідки

Виключаючи з обмежень задачі (10) отримуємо, що або . Підстановка сюди з (11) дає рівняння для , з якого маємо явну формулу для

що дозволяє перетворити (11) в явний вираз розв'язку задачі (10)

де для скорочення записів введено позначення

Істотньо, що величина входить тільки до скалярного множника при Отже, структура ризикових вкладень не залежить від :

Мінімальна дисперсія портфелю має вигляд

Звідси випливає лінійний зв'язок сподіваної ефективності отриманого портфелю та його середньоквадратичного відхилення (ризику):

При оптимальний портфель складається тільки з ризикових ЦП, а, отже, повинен бути оптимальним і серед всіх можливих варіантів тільки ризикових ЦП. Однак мінімальні дисперсії всіх портфелей тільки з ризиковими ЦП для різних даються розв'язанням задачі Марковітца (2). Таким чином точка на прямій (16), що відповідає лежить й на кривій . Це єдина загальна точка цих ліній через єдиність оптимального портфелю ризикових ЦП, і тому пряма (16) дотикається до кривої саме в цій точці (рис.3). Тими ж самими властивостями характеризується й розв'язок задачі Тобіна при додаткових обмеженнях невід'ємності змінних (випадок заборони short sale). В цьому разі, подібно до відповідної задачі Марковітца, розв'язок може бути представлено у формі

,

де - множники, що задовольняють разом з компонентами умовам доповнювальної нежорсткості (9). Ненульові визначаються спільно з ненульовими з лінійної системи рівнянь, права частина якої пропорційна .

Звідси випливає, що й пропорційний , а, отже, структура ризикових вкладень не повинна залежати від цього скалярного множника.

Хоч гіпотеза Тобіна про можливість чисто безризикових вкладень практично некоректна, можливо довести, що при наявності слаборизикових вкладень розв'язок задачі Марковітца (2) є близьким до розв'язку задачі Тобіна (10), побудованої на базі нехтування слабким ризиком. Тим самим структура сильноризикових вкладень майже не залежить від схильності інвестору до ризику.

5.3 Ризик портфелю і внесок кожного активу в сподівану ефективність портфелю

Серед економістів поширена думка, що або є найбільш розумною мірою ризику портфелю ЦП. Але вона може бути запереченою.

Приклад 1. Нехай для двох видів акцій 1 і 2 але дійсні ефективності залежать від випадкових ситуацій “а” (що має ймовірність 0,2) і “б” (що має ймовірність 0,8). Курс акцій 1 в ситуації “а” зростає на 5% і при “б” - на 1,25%; відповідні величини для акцій 2 складають -1% і 2,75%. Відповідні сподівані ефективності і співпадають:

, .

Дисперсії також співпадають

.

Нехай інвестор взяв гроші у борг під процент, рівний 1,5. Він нижчий ніж сподівана ефективність і тому ці дії є розумними. Однак, якщо інвестор вкладе гроші в акції 1 і відбудеться ситуація “а” то він виграє 3,5%, а при вкладі в акції 2 він збанкрутує. Коли ж відбудеться ситуація “б” і гроші вкладені в акції 1, інвестор збанкрутує, а коли гроші вкладені в акції 2, то він буде у виграшу. Ситуації мають різну ймовірність і тому рішення інвестора не є рівнозначними щодо ризику банкрутства: при вкладі в акції 1 він збанкрутує з ймовірністю 0,8, а при вкладі в акції 2 - з ймовірністю 0,2.

Отже, при рівності сподіваних ефективностей, дисперсій і початкового капіталу ризик банкрутства може бути різним!

В цілому, хоч завдання дисперсії не повністю характеризує ризик, але воно дозволяє зробити оцінку ризику і виявити граничні шанси інвестора через використання відомої нерівності Чебишева. В застосуванні до випадкової величини за нерівністю Чебишева

Припустимо, що інвестиція робиться за рахунок позики під процентну ставку при заставі майна. Яка ймовірність інвестору не повернути боргу та втратити майно (напр. нерухомість)? Це ймовірність події так що ймовірність банкрутства інвестора є

Звичайно при цьому припускається виконання умови розумності такого вкладення “під кредит”, , і оцінка ймовірності банкрутства має сенс при що було невиконано в попередньому прикладі).

Приклад 2. Знайти умову того, щоби шанс банкрутства був би не більше одного з дев'яти.

З попереднього для цього досить виконання умови або (остання нерівність відома в прикладній теорії ймовірностей як “правило 3-х сигма”).

Розглянемо ситуацію, коли інвестор вкладає в акції тільки частину свого капіталу, залишаючи іншу частину на заощадження під процентну ставку Яка тоді буде оцінка ймовірності банкрутства?

Якщо - початковий капітал, - частина його, що йде на заощадження, то банкрутство можливе, якщо

або ж

Оцінка за Чебишевим дає шанс банкрутства менший ніж при умові, що

або



Ясно, що гра на свій капітал значно безпечніша. Навіть при вкладенні всього капіталу досить виконати умову (звичайно, якщо інвестора задовольняє рівень гарантії).

В цілому оцінка Чебишева, як правило, передбачає великий запас. Наприклад, якщо зарані відомо, що коливання в обидва боки від рівноймовірні, то оцінка шансів на банкрутство зменшується майже в 5 разів: замість 1 випадку з 9 гарантується, що банкруцтво відбудеться не частіше ніж в 1 випадку з 40. Взагалі ймовірність банкрутства теж не є абсолютно об'єктивною мірою ризику економічного агента. Використовуються й інші розумні міри ризику, зокрема величини типу сподіваного значення перевищення втрат над капіталом, який є у розпорядженні агента.

Одним з найбільш загальних підходів до оцінки міри ризику є використання функцій корисності , концепція яких була винайдена російським академіком Д.Бернуллі в 1738 році при розв'язанні так званого “петербургського парадоксу” в одній задачі про банкрутство гравця (див. Напр. [9], стор. 34-35), і стала одним з головних інструментів теорії прийняття рішень, зокрема, в економіці й фінансах. Гладка функція корисності багатства (капіталу) економічного агента визначалась Д.Бернулі як “моральна вартість” суми грошей , що повинна мати властивості

Зокрема, у якості показників (мір) ризику , пов'язаного з випадковою ефективністю активу, можливо використовувати величини де - та чи інша функція корисності, вид якої залежить від особливостей конкретної ситуації.

Наприклад, якщо , то тоді - сподівана середня ефективність активу, а при де - деяке задане число маємо що , тобто міра враховує і сподівання і дисперсію випадкової ефективності активу. Ймовірність уникнення банкрутства при початковому капіталі описується за допомогою спеціальної функції корисності при і при

Застосовуючи різні функції корисності, можна описати різноманітні варіанти випадково-ризикової ситуації та відповідні міри її ризику. Описана вище квадратична функція корисності в теорії ринку ЦП має таку інтерпретацію: інвестор вважає корисним для себе збільшення значення ефективності, але уникає відхилення цієї ефективності від сподіваного значення. Чим більше , тим тенденція уникання ризику є більшою. Застосування квадратичної функції корисності є спробою об'єднання двох критеріїв: сподіваного значення й дисперсії.

Тепер розглянемо оцінку внеску кожного ЦП, що входить в оптимальний портфель , у загальну сподівану його ефективність. Відповідні результати належать учню Г. Марковітца - У. Шарпу))* Шарп Уїльям (н. 1934) американський вчений в галузі математичної економіки, лауреат нобелевської премії з економіки 1990 р.*.

Ефективність оптимального портфелю в моделі Тобіна є ВВ, що має вигляд

де - ефективність -того ризикового ЦП. Звідси, врахувавши, що , знаходимо

Введемо величини що називаються “бета внеску і щодо оптимального потфелю”, рівностями

Враховуючи рівність (3) маємо, що

(остання рівність в (4) є наслідком рівностей (15) і (13) попереднього параграфу.) Звичайно рівність (4) подається у вигляді або у скалярній формі

Величину можна трактувати як премію за ризик при вкладенні коштів в -тий ринковий ЦП під час формування портфелю. Рівність (5) означає, що ця премія за ризик пропорційна з коефіцієнтом (“бетою внеску щодо оптимального портфелю”) премії за ризик , пов'язаною з портфелем в цілому, . При цьому

Чим більша “бета” ЦП , тим вища частина загального ризику, пов'язана з вкладенням саме в цей ЦП. Разом з тим, чим більше тим вища й премія за ризик. Далі в моделі САРМ ми переконаємось у важливості поняття “бета внеску” для теорії й практики аналізу фінансового ринку в цілому.

5.4 Статистика ринку цінних паперів

Цілью портфельного аналізу фінансового ринку є розробка рекомендацій для інвесторів щодо вибору ЦП, в які слід вкладати капітал, та розмірів цих вкладень. Застосування теорій портфелю потребує знання вектору математичних сподівань та матриці коваріацій ефективностей ЦП. Звідки їх брати? Або, як їх знаходити, за наявною інформацією? Відповідь дає статистика ринку ЦП й відповідні статистичні методи оцінки та .

Якщо є дані про ефектності активів (ЦП) за моментів часу, що передують проміжку часу формування портфелю з цих ЦП та його реалізації, то маємо таку базу спостережень де - значеня ефективності -того ЦП для моменту Тоді за оцінки та беруться їх стандартні статистичні оцінки у вигляді вибіркових середніх та вибіркових коваріацій

При звичайних припущеннях про статистичну незалежність спостережень оцінки (1) є незміщенними та консистентними оцінками параметрів та , які можна використовувати як експериментальні значення та при портфельному аналізі інвестицій.

Але при намаганні вимірювати найбільш точно з врахуванням виплати дивідендів за акціями за періоди часу можуть виникати труднощі з наявністю бази спостережень, достатньої для формування всіх оцінок (1), бо дивіденди сплачуються відносно рідко - раз на квартал. Тому досить часто вдаються до іншого статистичного методу оцінювання параметрів портфелю- так званого методу провідних факторів. В якості таких факторів беруться чинники, що переважно визначають всі показники. Наприклад в галузях економіки, що істотньо залежать від використання нафти як енергоресурсу, таким визначальним (провідним ) фактором буде ціна на нафту.

Нехай є один провідний фактор , що ефективності всіх вкладень залежать від нього. Тоді будуються найпростіші лінійні моделі залежності від : які дають змогу знайти оцінки найменших квадратів (МНК - оцінки) параметрів та в схемах регресії

де - випадкові похибки спостережень . При цьому МНК-оцінки параметрів лінійної регресії знаходяться з умов мінімізації функціоналів сумарних квадратичних відхилень

по та

Умови екстремуму призводять до таких оцінок параметрів регресії:

Де

тобто та є статистичними оцінками сподівань для і , є оцінкою коваріації та фактору а - оцінкою дисперсії самого фактору. В схемі парної регресії (2) важливу роль також грають оцінки дисперсії похибок Вони мають вигляд

та є незміщенними оцінками при

Отже при виконанні методу одного провідного фактору в задачі статистичного оцінювання параметрів ЦП потрібно загалом оцінити величин, величин , дисперсій , а також сподівання й дисперсію самого фактора і тобто всього параметрів. Оцінити таку кількість параметрів по значенням, що містяться в історіях (за періодів) провідного фактору і всіх ЦП, значно простіше та надійніше чим напряму оцінювати величин та як це робилося спочатку параграфу (особливо враховуючи недостатню кількість даних, якщо точно враховувати ефективності ) приймаючи до уваги виплати по ЦП в періодах типу дивидендів.

При цьому всі параметри ринку ЦП та , легко обчислити через вказані параметри та Дійсно відповідно до моделі регресійної залежності (2) маємо, що звідки

тобто за оцінки можна взяти величини . Далі

звідки

а для коваріацій маємо

Отже з (6) і (7) маємо такі оцінки і :

Сам ринок ЦП вказує безпосередньо шлях вибору провідних факторів, що обумовлюють його поведінку. Це зводні індекси фондових ринків типу складного індексу Доу-Джонса (The Dow Jones Composite Average Index- DJCAI), індексу “Стендарт енд пурз” (S&P500), що характеризують усереднений рух курсів акцій провідних компаній. На українському ринку ЦП за провідний фактор можна взяти український фондовий індекс ПФТС.

Досвід розрахунків, що здійснювалися фінансовими аналітиками протягом довгого часу, показує що найбільш важливим провідним фактором фондового ринку є виличина, що називається ефективністю фондового ринку і визначається як зважена (з врахуванням капіталу) сума ефективностей всіх ризикових ЦП, що фігурують на ринку (за винятком неістотніх ЦП короткодіючих дрібних корпорацій). Згідно до цього основні співвідношення статистики фондового ринку приймають вигляд

З (9) випливає, що кожного ЦП і складається з “власної” компоненти, що не залежить від поведінки ринку і “ринкової” компоненти. Їхнє співвідношення часто позначається як ( - squared) і характеризує частку ризику даного активу , що вноситься невизначеністю ринку в цілому. Воно тим вище, чим вище бета цього активу.

Зручно відраховувати сподівану еефективність від ефективності безризикового вкладу . Перевищення є премією за ризик. Перепишемо (8) у вигляді

Тоді премія за ризик лінійно залежить від премії за ризик, що складається на ринку в цілому, , плюс так звана - вкладення .

Оцінка параметрів, що входять в основну статистичну модель фондового ринку (тобто параметрів “альфа” і “бета” кожного активу та) є статистичною проблемою, яка розв'язується методами описаними вище, шляхом прийняття за провідний фактор і використання МНК - оцінок

де - вибіркові середні ефективностей, що спостерігалися, і оцінка дисперсії - оцінка коваріації і :

Для обчислення оцінки величини використовується формула

де останній вираз є оцінкою “власних” варіацій ЦП

Іноді використовуються поправки до “історичних бета” на основі аналізу впливу інших факторів. Наприклад, статистичні дослідження фондового ринку США показали, що досить ефективною є формула

де - параметр, пов'язаний із сектором економіки, якому належить корпорація - емітент ЦП ( для базових галузей і - для транспорту), , а - відображає вплив розміру корпорації на оцінку бета і Формула (13) свідчить, що залежність акцій від поведінки ринку різна для різних галузей і що курс акцій більш великих корпорацій менш чутливий до коливань ефективності ринку.

5.5 Практичні застосування портфельного аналізу

Підсумовуючи міркування попередніх параграфів, наведемо загальну геометричну інтерпретацію методології практичного застосування портфельного аналізу й вибору оптимального портфелю, а також числові приклади застосувань теорій Марковітца та Тобіна.

Нехай на фондовому ринку з трьома типами акцій діють два інвестори , які прагнуть сформувати оптимальні портфелі, керуючись різними функціями корисності в площині характеристик можливих портфелей з координатами сподіваних ефективностей і ризиків . На ринку є безризиковий актив з ефективністю Інвестори виробляють рішення починаючи з розв'язання задачі двохкритеріальної оптимізації:

керуючись критерієм Парето векторної оптимізації, знаходячи множину всіх Парето-оптимальних припустимих портфелів (тобто таких портфелів , для яких не існує таких припустимих портфелів для яких , причому хоч одна з цих нерівностей є строгою). Остаточний вибор оптимального портфелю інвестор робить за допомогою максимізації своєї корисності в множині Парето-оптимальних портфелів: Крім того, нехай ще є інвестори, які керуються при виборі оптимального портфелю підходами Марковітца й Тобіна.

Загальна геометрична інтерпритація описаної ситуації різних підходів вибору оптимального портфелю зображена на рис.1, де 1) фігура АВСМ - відповідає множині припустимих портфелей (); 2) точкам А,В,С відповідають портфелі, що складаються тільки, відповідно, з акцій А, В, С; 3) дуга МС відповідає множині Парето-оптимальних (ефективних) портфелів; 4) - оптимальні портфелі, що вибирає інвестор , функція корисності якого характеризується кривими байдужості (лініями рівня функції ) ; 5) К-оптимальний портфель, що складається тільки з ризикових ЦП, при умові наявності безризикового ЦП з ефективністю 6) - пряма, що відповідає множині оптимальних портфелей з часткою безризикових ЦП 7) - множина оптимальних портфелей з від'ємною часткою безризикових ЦП (), тобто взятих у борг, за рахунок чого можливе формування портфелю із заданою ефективністю (будь-якою), але і з великим ризиком.

Приклад 1. Розв'язати задачу Марковітца формування оптимального портфелю з 3-х ЦП із заданою сподіваною ефективністю якщо дані статистики ринку приводять до наступних параметрів ЦП:

І. Знайдемо спочатку структуру оптимального портфелю та відповідний ризик Маємо:

Отже за формулою (5) параграфу 5.2

При цьому

тобто ризик

ІІ. Нехай додатково є безризиковий ЦП з Знайти оптимальну структуру ризикової частини портфелю, її ефективність та ризик.

Скористаємося формулою

Послідовно обчислюємо:

 При цьому:

ІІІ. Знайти оптимальний розподіл вкладень, ефективність оптимального портфелю й ризик, якщо є 3000 грн., з яких 1/3 вкладається в безризиковий ЦП.

З 3000 грн. 1000 грн. вкладається під 2%. 2000 грн., що залишилися, розподіляються так: грн. під 10%: під 5% грн. під 3% Ефективність і ризик цього портфелю, відповідно дорівнюють:

Структура ризикової частини така:

Приклад 2. Є капітал в 100 грн. і два види ЦП: ризиковий з ефективністю 0,6 і та безризиковий з ефективністю 0,2. Потрібно визначити структури портфелів з ефективностями 0; 0,2; 0,4; 0,6; 1; 2; 10; 100. Вказати: 1) ефективності портфелей; 2) гроші, які передбачається одержати через ці фінансові операції; 3) структуру портфелей; 4) Пояснити детально шосту ситуацію.

Розв'язання. Тут оптимізаційна задача

при умовах

має однозначні розв'язки, що визначаються формулами:

Результати обчислень наведені в такій таблиці:

№ ситуації	Вкла-дення	Сподіван. ефф. порт.	Сподів. виграш	Структура портфелів	Ризик
				Частки	Гроші
1	100	0	100	-0,5	1,5	-50	150	2
2	100	0,2	120	0	1	0	100	0
3	100	0,4	140	0,5	0,5	50	50	2
4	100	0,6	160	1	0	100	0	4
5	100	1	200	2	-1	200	-100	8
6	100	2	300	4,5	-3,5	450	-350	18
7	100	10	1100	24,5	-23,5	2450	-2350	98
8	100	100	10100	249,5	-248,5	24950	-24850	998

Пояснення шостої ситуації таке. Є 100 грн. В борг береться 350 грн. під 20%. Стає загалом 450 грн. 450 грн. вкладається під 60%. Отримується грн. Віддається кредит грн. Залишилося 720-420=300 грн. Ефективність ФО дорівнює (300-100)/100=2 або 200%. З таблиці бачимо, що зі зростанням ефективності помітно зростає й ризик.

5.6 Рівновага на конкурентному фондовому ринку. Модель ціноутворення капіталовкладень САРМ

Дослідження взаємодії попиту й пропозиції, що призводить до рівноваги на конкурентному ринку є однією з головних задач економічної теорії. Але класична теорія мікроекономічної рівноваги не може бути застосованою до процесів на фондовому ринку, насамперед через те, що вона не враховує роль невизначеності та фактори ризику.

Тому в середині 60-х років XX ст. В працях У. Шарпа))* Sharpe W. F. Capital asset price: A theory of market equilibrium under condition of risk // J. of Finance, 1964, v.19, p.425-442.*, Дж. Лінтнера та Моссина була побудована нова теоретична модель рівноваги на конкурентному фондовому ринку, що отримала назву моделі ціноутворення капіталовкладень (Capital Assets Pricing Model - CAPM).

В цій моделі розглядається поведінка множини інвесторів () на ринку ЦП. Нехай безризиковим ЦП відповідає індекс , а ризиковим - індекси . Припускається, що в початковий момент інвестор має частку повної кількості ризикових ЦП виду , а початкова вартість цього (ринкова оцінка емітента) є . При фіксованій кількості ЦП вона пропорційна ціні одного ЦП. Нехай інвестор ще вкладає суму у безризикові ЦП, так що його початковий капітал є

Основні припущення моделі такі: 1) всі інвестори мають однакову інформацію про ефективність вкладення у будь-які ЦП, що виражається значенням сподіваних ефективностей ЦП та коваріацій 2) всі інвестори прагнуть придбати портфель ризикових ЦП, оптимальний за структурою, а при розподілі капіталу на ризикову й безризикову частини прагнуть максимізувати сподіване значення квадратичної функції корисності, тобто максимізують величини де - сподівана ціна портфелю в майбутньому та її дисперсія, а параметр - характеризує ступінь ухилення від ризику інвестора

З цих припущень й теорії оптимального портфелю випливає, що всі інвестори прагнуть придбати однакові за структурою портфелі ризикових ЦП, тому ефективність ризикової частини вкладень у всіх однакова й дорівнює

Якщо інвестор вкладе частку свого вихідного капіталу у безризикові ЦП, а все інше - у ризикові, то його новий капітал зміниться до рівня :

де - ефективність безризикового вкладення. Сподівана корисність цього капіталу дорівнює

Максимум досягається при виборі

Сумарний капітал, який через вказаний принцип повинен бути вкладеним у ризикові ЦП всіма інвесторами, складає

( характиризує середнє ухилення від ризику всіх інвесторів).

Рівновагою на ринку є ситуація, коли цей капітал збалансований зі сумарною вихідною вартістю ризикових ЦП: Умова балансу ставить таку вимогу до рівноважних цін:

Отже, загальний рівень цін рівноважного ринку обернено пропорційний до середнього ухилення інвесторів від ризику (або ж є пропорційним їхній середній схильності до ризику).

Далі з оптимальності структури ризикової частини випливає основне співвідношення САРМ:

яке було отримано раніше в параграфі 5.

Ефективності через ціни виражаються як

де - ціни (ринкові оцінки) ЦП - того типу в майбутньому, а - відповідна оцінка ринку в цілому:

Неважко встановити, що

де - дисперсія оцінки ринку в майбутньому,

Підставляючи ці вирази до основного співвідношення САРМ і виконуючи прості перетворення, отримуємо, що



При цьому враховується, що структура ризикової частини рівноважного ринку є оптимальною, тобто і

Залишається тільки виключити з допомогою рівняння балансу, яке з врахуванням умов оптимальності має вигляд:

Тоді кінцевий вираз для рівноважних цін такий:

Якщо невизначеність відсутня, тобто

то рівноважні ціни співпадають з цінами у майбутньому, дисконтованими у відповідності до ефективності безризикових вкладень:



Наявність невизначеності змінює картину. Рівноважна ціна ЦП підвищується відносно сподіваної, якщо їхня ефективність знаходиться в оберненій кореляції до ринку, і знижується, якщо ефективність ЦП позитивно корельована по відношенню до ринку. Чим більшим є середнє ухилення від ризику, тім чутливіші ціни до випадковостей ринку, тим більш ярко виражені ефекти кореляції.

Теорія рівноважного ринку дозволяє краще зрозуміти значення таких параметрів, як альфа і бета вкладень інвесторів відносно ринку.

Оскільки згідно до САРМ портфель ринку (структура ЦП на ринку) має ту ж саму структуру, що й оптимальний портфель, який обчислюється на основі ймовірнісних характеристик ефективностей ризикових ЦП, то ринок повинен мати властивості, що притамані оптимальному портфелю. Зокрема для оптимального портфелю, як було показано раніше премія за ризик кожного ЦП пропорційна з коефіцієнтом премії за ризик портфеля в цілому: Тому це відношення вірно і для ринку, тобто має місце співвідношення (1). Отже премія за ризик, пов'язаний з будь-яким ЦП, пропорційна коефіцієнтом премії за ризик ринку в цілому. Рівність (1) часто називають основним рівнянням рівноважного ринку. Відповідна графічна інтерпритація подана на рис.1. Вісь абсцис тут є віссю значень , а вісь ординат- значень Пряма лінія називається лінією ринку ЦП (Security market line - SML). Для ідеального ринку ( тобто ринку, що задовольняє припущенням моделі 1)-2)) задання бета дозволяє знайти сподівану ефективність у вигляді ординати відповідної точки на прямій.

Про поведінку реального ринку можливо судити по статистичним даним. Нагадаємо, що статистика ринку вказує на справедливість більш загального співвідношення ніж (1):

що відрізняються від основного рівняння САРМ (1) наявністю доданку альфа вкладення. Інакше, на ідеальному ринку для всіх видів ЦП Статистичні дані реального ринку це не підтверджують. Існують два пояснення цього феномену.

Перше полягає в тому, що на реальному ринку не всі учасники однаково інформовані, тому раціональність їх поведінки різна й портфель ринку відрізняється від оптимального. Якщо статистика дає, що то це означає недооцінку ринком дійсних можливостей ЦП При ринок переоцінює можливості ЦП Тому одна з практичних рекомендацій фінансового аналізу - включення інвестором у портфель насамперед тих ЦП, які недооцінені ринком (), з надією “переграти” ринок (тобто одержати перевагу перед менш інформованими учасниками). На рис.1 точки, що відповідають недооціненим ЦП, лежать вижче лінії ринку SML, а точки, що відповідають переоціненим ЦП, лежать нижче лінії SML.

Друга інтерпретація того, що менш практична, але можливо краще відповідає реальності. Справа в тому, що САРМ базується на найпростішій теорії оптимального портфелю, в якій припускається, що ставки при покупці й продажу, при видачі й одержання кредиту однакові, що не відповідає реальності. Існують різні модифікації САРМ, які враховують ці відхилення від ідеального варіанту, але жодна з них не має таку простоту й стройність як вихідна теорія САРМ.

5.7 Арбітражна теорія ціноутворення капіталовкладень АРТ

На закінчення теми цієї глави дуже коротко торкнемося так званої арбітражної теорії ціноутворення капіталовкладень (Arbitrage Pricing Theory- APT).

Утворимо в моделі САРМ для активу величину

Ясно, що

і

тобто

і

є некорельованими ВВ. Отже

що разом з (1) параграфу 5.6 дає співвідношення між преміями і

З вищесказаного маємо, що , тобто ризик інвестування в актив складається з двох ризиків: систематичного ризику що притаманний ринку, і несистематичного ризику , що притаманний самому активу . Тобто модель (1) залежності від зовнішніх чинників є однофакторною (таким фактором є ринок в цілому).

Подальша більш сучасна теорія “ризику й випадкової ставки (ефективності) активу - теорія АРТ, що була розвинена С.Россом і Р.Роллом у працях: (Ross S.A. The arbitrage theory of capital asset pricing, J. of Economic theory, 1976, V.13, p. 341-360; Roll R., Ross S.A. An empirical investigation of the arbitrage pricing theory, J. of Finance, 1980, v.35, p. 1073-1103) виходить з многофакторної моделі, за якою активу залежить від ряду випадкових факторів (їх значення можуть бути різними - ціна на нафту, процентна ставка, тощо) і “шумового члену”

При цьому і некорельований з факторами , а також з “шумовими членами” інших активів. Тобто (1) є частинним випадком (2) з одним фактором Нажаль АРТ повністю втрачає простоту, наочність, стрункість моделі САРМ з нею важко оперувати її положення дуже непросто навіть чітко формулювати. Тому й досі САРМ продовжує залишатися одним з найбільш улюблених засобів при розрахунках ЦП.

Центральними результатами АРТ є дослідження можливостей на ринку ЦП асимтотичного арбітражу і далі при концепції відсутності на ринку можливостей асимптотичного арбітражу вивод асимптотичної формули для середньої ефективності у припущенні, що поведінка описується багатофакторною моделлю (2). Відповідні асимптотичні дослідження пов'язуються з необмеженим зростанням кількості активів

Розглянемо деякий портфель і відповідну його ефективність на “ - ринку” з активів , ефективності яких залежать від факторів і має місце залежність (2). В АРТ встановлюється при деяких припущеннях відносно коефіцієнтів многофакторної моделі (2) існування такого нетривіального портфелю , що ; Якщо при то на ринку присутні можливості асимптотичного арбітражу. Тобто, припускаючи, що початкові ціни активів одиничні, так що початковий капітал портфелю , для деякого параметра нульовий, бо

будемо мати, що для достатньо великого капітал портфелю в момент часу

з додатньою ймовірністю буде додатній: Тобто, маючи нульовий початковий капітал і оперуючи на “ - ринку” з активами шляхом складання певного портфелю можливо (“асимптотично”) отримати додатній прибуток, що в теорії АРТ й інтерпретується як наявність асимптотичного арбітражу.

Вважаючи, що “ - ринки” асимптотично (при ) є безарбітражними, доводиться виключити можливість для тих портфелів, що розглядаються. Це природньо накладає певні обмеження на коефіцієнти многофакторної моделі (2): при достатньо великому числі активів, що фігурують у портфелі ЦП . “Більшість з них повинна бути такими, щоб між коефіцієнтами ” було виконане “майже лінійне” співвідношення

де всі величини залежать від та

При цьому існує портфель для якого дисперсія є досить малою, що свідчить про те, що в многофакторній моделі вплив “шумових членів” та окремих факторів може бути (у припущенні відсутності асимптотичного арбітражу) редуційований диверсифікацією. Але це справедливо тільки для великих (тобто великих ринків ЦП), а для “малих ринків” ( - невелике) розрахунок за допомогою наближеної формули (3) може призводити до грубих помилок.

Більш детальну інформацію про теорію АРТ, великі фінансові ринки й асимптотичний арбітраж можна знайти у вказаних вище роботах Росса, Ролла та книзі А.Ширяєва [12]. З приводу сучасної строгої математичної теорії асимптотичного арбітражу, заснованої на понятті контигуальності можна рекомендувати роботи Ю.М. Кабанова і Д.О. Крамкова (ТВИП, 1994, т.39, №1, с 222-228 та Finance and Stochastics, 1998. vol. 2), а також гл. 6 книги [19].

Задачі та вправи

1. Знайти характеристики , оптимального портфелю Марковіца максимальної ефективності, сформованого з трьох ЦП з відносною доходністю (m) і ризиком (у): (4, 10); (10, 40); (40, 80), якщо верхня границя ризику задана рівністю 50 (це двоїста задача до класичної задачі формування оптимального портфелю Марковіца мінімального ризику при заданій ефективності).

2. Сформувати портфель Тобіна максимальної ефективності й ризику, не більшого заданої величини , з 3-х видів ЦП: безризикових з ефективності та некорельованих ризикових сподіваних ефективності і й ризиками (двоїста задача до класичної задачі портфеля Тобіна).

3. Як підрахувати в ЦП? Чому ЦП з від'ємною в сприймаються як незвичайні, екстравагантні.

4. Портфель складається наполовину по вартості з ЦП і -0.8. Побудувати портфель з з цих ЦП. Чи буде цей портфель безризиковим?

Глава 6. Загальний стохастичний аналіз платіжних зобов'язань. Моделі ціноутворення для опціонів

6.1 Загальні принципи стохастичного аналізу платіжних зобов'язань

Розглянемо модель фінансового ринку як пари активів: безризикового B (банківський рахунок - bank account , або державні облігації - government bonds, treasury bills) і ризикового S (акції - stocks, shares), що репрезентуються своїми цінами Bt і St, або . В такому разі говорять про (B,S) - ринок відповідно з дискретним або неперервним часом t. При цьому ризикова компонента - ринку може бути й багатовимірною. Фінансові активи B і S називають основними (базовими) або основними цінними паперами (basic securities). Ризиковість активу S відображується в моделі тим, що ціновий процес (St)t?0 трактується як стохастичний (випадковий) процес на певному імовірнісному просторі . При цьому інформація, що надається цінами S до моменту t, пов'язується із - алгеброю подій (тобто - алгеброю подій, що породжуються ВВ , .

Зафіксуємо деякий часовий горизонт T, T > 0 і називатимемо платіжним зобов'язанням будь-яку функцію на “просторі станів фінансового ринку” , що визначається за інформацією (тобто є - вимірною). Зокрема може бути певною функцією цін активу .

Фінансовий агент, що діє на ринку, взявши безризиковий актив і ризиковий у кількостях та , утворює тим самим пару , що називається його портфелем або (інвестиційною) стратегією. Капітал портфелю в момент з початковою сумою x визначається рівністю

Необхідно вказати, які портфелі можуть бути використаними. Найважливіший клас - це портфелі р , що самофінансуються, (рSF), для яких

(або в разі неперервного часу при умові, що диференціали і коректно визначені).

Арбітраж (у момент ) означає можливість створення додатного капіталу (з додатною ймовірністю) у момент за допомогою стратегії, що самофінансується з нульовим початковим капіталом .

Будь-який фінансовий актив створений на базі основних активів і - ринку, називається похідним цінним папером або деривативом (derivative) і ототожнюється з деяким платіжним зобов'язанням. Наприклад, форвардний контракт (або форвард - forward) є угодою про поставку - купівлю активу в майбутньому за зарані обумовленими ціною поставки і датою поставки . Для активу форвард еквівалентний зобов'язанню . Опціон (option, що значить вибір) - це дериватив (контракт), що емітується деяким агентом (інституцією) і надає покупцю або продавцю право купити або продати актив (або іншу цінність) в обумовлений період або момент часу на зарані обумовлених умовах. Наприклад, опціон продавця (опціон - колл або call option) з ціною виконання (strike price ) і датою виконання (maturity time) (так званий опціон європейського типу, коли він пред'являється до виконання тільки в момент ) на актив дає покупцю дохід (бо при він реалізує своє право на купівлю за ціною при більший ринковій ціні активу , а при відмовляється від купівлі за контрактом, або може купити за ринковою ціною , нижчою за , тобто не реалізує право на купівлю за ціною ). Отже описаний європейський опціон - колл еквівалентний зобов'язанню . Звісно, за опціон потрібно сплатити деяку премію (ціну опціону), і чистий дохід покупця буде . Відповідно дохід продавця опціону буде при і при . Можуть бути й інші види опціонів. Так, наприклад, для опціону - колл з післядією, де , а для арифметичного азіатського опціону - колл , де у випадку дискретного часу. Для опціонів продавця (опціонів - пут, або put option) у разі стандартного опціону - пут , у разі опціону - пут з післядією, . В цілому множина деривативів індукує в площині з координатами множину графіків відповідних платіжних зобов'язань CCG (Contingent Claim's Graphs), див. рис.1.

а) б)

Рис.1. Множина CCG.

З іншого боку, множина стратегій рSF індукує множину графіків термінальних капіталів (Terminal Values Graphs), див. рис.2.



Рис.2. Множина TVG.

Ринок називається повним, якщо CCG=TVG. В противному разі ринок неповний. Інакше, - ринок є повним тоді і тільки тоді, коли будь-яке платіжне зобов'язання може бути реклікованим, тобто існують такі x і , що.

Позначимо через ціну (value) у момент платіжного зобов'язання (інакше ціну деривативу з виплатами по ньому в момент , що визначається функцією ). Головна проблема тут полягає у знаходженні опису стохастичного процесу у термінах - ринку. Евристичний принцип такого опису складається з двох ідей: по-перше величину платіжного зобов'язання потрібно дисконтувати за допомогою без ризикового активу: тобто розглянути ; по-друге прийняти за раціональне (справедливе) значення усереднену величину, що дорівнює умовному сподіванню . Перша ідея не викликає заперечень, бо дисконтуванням досягається вимірювання вартості у різні моменти часу в тих самих одиницях. Друга ідея може бути предметом дискусії, бо неясно чому усереднення повинно здійснюватися відносно первісно заданої “фізичної ” ймовірності . Більш того, будь-яка інша імовірнісна міра на просторі визначає свій “ імовірнісний характер ” - ринку. Ясно, що нейтральний до ризику, стійкий характер ймовірності, що обирається для усереднення, обумовлює природність ціни платіжного зобов'язання. Отже евристичний принцип опису потрібно виправити вибором більш підходящого імовірнісного характеру ринку, що визначається деякою мірою . Тут для того, щоб уникнути втрати суттєвих рис ринку (“виродження” його характеру) потрібно вважати міри і - еквівалентними. Ці міркування призводять до принципу безарбітражності при визначенні ціни . Втілення цього принципу реалізується у наступні загальні факти, що є дещо обрубленою формою фундаментальних теорем теорії арбітражу та повноти стохастичної фінансової математики.

Теорема А. - ринок не дозволяє арбітражних можливостей тоді і тільки тоді, коли існує імовірнісна міра , еквівалентна , така, що процес дисконтованих цін ризикового активу є мартингалом відносно , тобто для всіх (тут позначає сподівання відносно міри ).

Подібна міра називається мартингальною. Оскільки мартингал є в середньому сталим, то міра немов би нейтралізує ризиковість активу . Тому називається також ризик - нейтральною мірою - ринку.

Теорема В. На повному безарбітражному - ринку ціна будь-якого платіжного зобов'язання визначається єдиним чином тоді і тільки тоді, коли мартингальна міра єдина.

Дійсно, якщо таких мір дві , то визначені дві ціни зобов'язання , котрі повинні співпадати, що означає рівність . Навпаки, відносно єдиної мартингальної міри ціна визначається однозначно, як .

В результаті маємо такий загальний принцип розрахунку платіжних зобов'язань на повних ринках:

Теорема С. Нехай на повному - ринку - єдина мартингальна міра і ціна зобов'язання визначається як . Тоді утворює єдину систему цін, при якій відповідний розширений ринок не дозволяє арбітражних можливостей. Більш того, існує така стратегія , що репліціює і при всіх .

Це твердження означає можливість редуціювати до нуля ризик, пов'язаний з будь-яким платіжним зобов'язанням на повному ринку.

В наступних параграфах наводяться класичні моделі ціноутворення опціонів покупця на повному - ринку.

6.2 Модель Башельє ціни опціону колл європейського типу

Французький математик, учень А.Пуанкаре, Луї Башельє (Louis Bachelier, 1870 - 1946) був першим, хто зробив спробу математичного опису динаміки коливань вартостей акцій (на паризькому ринку) на базі теорії ймовірностей. У своїй дисертації “Teorie de la spe'culation” (Теорія спекуляцій), надрукованій у 1900 р. в “Annales scien. de l'Ecol Normale Superieure”, том 17, с. 21- 86, він запропонував розглядати як випадковий процес.

Аналізуючи експериментальні дані про ціни (з інтервалом часу ) Башельє помітив, що прирости мають (в статистичному смислі) приблизно нульове середнє та флуктуації порядку . Подібну властивість має випадкове блукання виду , де незалежні однаково розподілені випадкові величини (НОРВВ) приймають два значення, , з імовірностями . Граничний перехід при призводить в силу багатовимірної центральної теореми до випадкового процесу цін , де є не чим іншим як розглянутим Башельє процесом броунівського руху, тобто гауссівським випадковим процесом , що має нульове середнє і кореляційну функцію. Процес повністю характеризується тими властивостями, що це є гауссівський процес з незалежними приростами, для якого для всіх .

Відомі фізичні дослідження А.Ейнштейна і М.Смолуховського 1905-1906 років показали, що стохастичний процес , вперше збудований Башельє, може слугувати математичною моделлю еволюції кожної фіксованої координати при хаотичному русі частинки колоїдного (дуже малого) розміру, поміщеної у рідину чи газ, під дією теплового руху молекул середовища. Явище подібне хаотичному руху вперше було зафіксоване англійським вченим Р.Броуном в 1827 році і одержало назву броунівського руху. Математично строгу (сучасного рівня) теорію процесу збудував в 1923 р. американський математик Н.Вінер, який зокрема розглянув цей процес як спеціальну міру в просторі неперервних функцій (так звану вінерівську міру). В подальшому процес отримав також назву стандартного вінерівського процесу на честь Н.Вінера.

Відправляючись від процесу Бащельє отримав формулу для сподівання з , що з сучасної точки зору (в припущенні, що неперервна ставка (сила росту ) банківського рахунку нульова) є справедливою ціною опціону - колл (премію за опціон), котру його покупець сплачує його продавцю, що зобов'язався продати покупцю акції в момент виконання за ціною виконання :



де і відповідно функція розподілу і щільність розподілу стандартної нормальної ВВ:

З сучасної точки зору потрібно дещо скоректувати модель динаміки ціни акції Башельє записавши її у формі стохастичного диференціалу

де - параметр зносу (тренду) процесу в часі, а - параметр мінливості (волатильності - volatility) ціни. Подібна модель (3) отримала назву арифметичного (фінансового) броунівського руху .Для такої скоректованої моделі принцип безарбітражності дає для ціни опціону покупця формулу , де має вираз (1), а усереднення робиться відносно мартингальної міри

.

На закінчення, зауважимо, що при формула Башельє дає ціну опціону , що характеризує зростання раціональної вартості опціону із зростанням часу виконання .

6.3 Модель Блека - Шоулса вартості опціону покупця європейського типу

В 1965 р. Пол Самуельсон, вивчаючи фінансові ринки, запропонував так звану експоненційну модель динаміки - ринку, що складався з безризикового активу і ризикового активу , в якій відповідні процеси цін і мали форму

де - неперервна процентна ставка (сила росту) для активу , - стандартний вінеровський процес, і - параметри знесення й волатильності вартості активу . Підкреслюючи важливість процесу виду (1), Самуельсон назвав його економічним броунівським рухом. З точки зору теорії випадкових процесів він є неперервним марківським процесом дифузійного типу. Подібні процеси були вивчені в термінах перехідних імовірностей та відповідних аналітичних характеристик А.Н.Колмогоровим. В подальшому К.Іто розвинув підхід до вивчення вказаних процесів на основі запропонованого ним апарату стохастичних диференціальних рівнянь (рівнянь Іто).

Модель Самуельсона (1) може бути переписана у еквівалентній формі диференціальних рівнянь динаміки цін - ринку.

де друге рівняння є стохастичним диференціальним рівнянням Іто. Теорія рівнянь Іто описана в стандартних підручниках з випадкових процесів ([2], [3], [16]) і через недиференційованість процесу в звичайному розумінні (у існує тільки узагальнена похідна , що є узагальненим стаціонарним процесом зі сталою спектральною щільністю, яка в технічних застосуваннях теорії випадкових процесів називається гауссівським білим шумом) використовує в якості основного аналітичного апарату так звані стохастичні інтеграли Іто, які в нашому випадку (2) є інтегралами виду , для яких і . Зокрема, рівняння (2) для означає, що для будь-яких

Процес виду (2) або (3) зараз називається геометричним броунівським рухом.

В 1973 р. Ф.Блек і М. Шоулс (F.Black, M.Scholes) в своїй знаменитій роботі “The pricing of options and corporative liabilities”, надрукованій в журналі “Journal of Political Economy”, vol.81, №3, р. 637-659 одержали формулу для вартості опціону покупця європейського типу для (B,S) - ринку виду (2), яка отримала назву формули Блека - Шоулса. Виведення цієї формули базувалося на отриманому ними диференціальному рівнянні в частинних похідних для вартості опціону.

Коротко наведемо доказ Блека - Шоулса відповідної формули. Нехай шукана вартість опціону на ризиковий актив з ціною виконання і часом виконання . Розглянемо портфель, що складається з опціону на купівлю і деякої кількості активу (акції). Тоді витрати на придбання такого портфелю складали суму . Нехай в будь-який момент часу курс відомий і змінюється в залежності від , так що ціна портфелю , не залежить від курсу, тобто

.

Тоді поточна ціна портфелю буде

.

Ефективність такого портфелю за нескінченно малий проміжок часу буде складати величину

Застосувавши формулу Іто стохастичного диференціювання складної стохастичної функції (див., напр. [2], [3], [16]) маємо, що

З врахуванням (5) ефективність портфелю (4) набуває вигляду

Оскільки описаний портфель є безризиковим, то його ефективність повинна співпадати з ефективністю безризикового активу

З рівності (6) і (7) отримуємо таке диференціальне рівняння Блека-Шоулса:

До рівняння (8) слід приєднати очевидну крайову умову

Інтегрування рівняння (8) з умовою (9) і заміною відліку часу назад від моменту виконаня опціону T дає формулу Блека - Шоулса вартості опціону

де - функція розподілу стандартної нормальної ВВ, а

Викладений метод диференціальних рівнянь дозволяє деяке узагальнення на більш широкий клас платіжних зобов'язань виду , де - невід'ємна функція. Будемо розглядати портфелі , капітал яких є гладкою функцією і , тобто . Тоді ясно, що

Застосування формули Колмогорова - Іто до процесу призводить до відношення

де - відтворюючий оператор дифузійного процесу виду (2):

З рівності (13) випливає, що портфель є самофінансованим, тоді і тільки тоді, коли виконується рівняння

Але (15) з умовами (12) і є рівняням Блека - Шоулса вартості портфелю р. Відмітимо, що коли має поліноміальний ріст, то розв'язок задачі (15)-(12) існує і виражається формулою

тобто є щільністю логнормального розподілу.

Загальний сучасний підхід до виводу формули Блека - Шоулса (10)-(11), оснований на тому, що єдина мартингальна міра моделі - ринку виду (2) має щільність відносно

.

Тоді згідно принципу безарбітражності ціна опціону покупця

,

що звичайно співпадає з результатом (10).

Зауважимо, що з формули Блека - Шоулса (10) легко отримати вартість опціону продавця (опціону пут) європейського типу для - ринку (2). Це випливає з наступного результату.

Теорема (про паритет опціонів). Нехай позначає премію за опціон пут європейського типу для активу з ціною виконання і часом виконання . Тоді має місце формула Столла

де вартість опціону колл з тими ж умовами.

Для доведення проведемо два теоретичних експеримента.

Перший: купимо опціон пут, сплативши і одночасно купимо акцію за ціну , якщо в момент , то збережемо акцію, а при продамо її отримавши .

Другий: купимо опціон колл, сплативши , а також вкладемо суму в безризиковиий актив. Якщо ціна акції більша в момент , то продаємо за (з урахуванням росту) і, використавши опціон, купимо акцію. В протилежному випадку залишимо собі суму .Таким чином, незалежно від зміни цін обидві варіанти дій дають той самий результат, тобто обидві схеми капіталовкладень еквівалентні: . Це й доводить (17).

На закінчення параграфу зауважимо, що коли застосувати евристичний принцип розрахунку опціон колл європейського типу, то одержимо таку вартість опціону

,

що при співпадає з ціною Блека - Шоулса.

6.4 Модель Кокса - Росса - Рубінштейна

І. В 1976 році Кокс, Росс, Рубінштейн (Cox Y.C., Ross R.A., Rubinstein M.) в роботі “Option pricing: a simplified approach”, надрукованій в “Journal of Financial Economics”, vol. 7, р. 229-263, розглянули просту біноміальну модель - ринку з дискретним часом та відповідні питання вартості опціонів.

В цій моделі безризиковий актив і ризиковий актив мають динаміку процесів цін і , що описуються різницевими рівняннями

де - стала процентна ставка активу , а - випадкові процентні ставки активу ,що є НОРВВ, які приймають два значення і , з імовірностями і відповідно, де . З рівнянь випливає, що

Припускається, що .

Нехай - деяке платіжне зобов'язання (дериватив) на описаному - ринку, . Ключовим елементом теорії вартості є хеджування (від англ. hedge - огорожа), пов'язане зі здатністю виконання зобов'язання при будь-якій можливій поведінці ринку. Портфель інвестора називається хеджем для , якщо його капітал (при довільній поведінці ринку). Таких портфелів може бути багато і важливо обирати оптимальний (мінімальний) хедж з найменшим капіталом: , для будь-якого хеджа . Побудова відкриває природній шлях розв'язання проблеми вартості: ціною зобов'язання є початковий капітал хеджа і при цьому .

Для пошуку ризик-нейтральної ймовірності можна скористатися тим, що дисконтова на ціна активу в середньому відносно повинна бути сталою при всіх :

.

Тоді при маємо рівняння

де - бернуллева ймовірність, з якою (відносно міри ) приймає значення b. З рівняння (3) маємо , тобто ризик-нейтральна ймовірність визначається однозначно через параметри біноміального - ринку.

Міра є мартингальною: дійсно

Перевіримо, що модель біноміального ринку з умовою не дозволяє арбітражних можливостей.

Дійсно, для довільної стратегії

і, отже є мартингалом відносно міри . Якщо - арбітражна стратегія, то з одного боку , а з іншого - завдяки мартингальності відносно :

(бо).

Позначимо через - щільність міри відносно вихідної міри імовірнісного простору на якому розглядається модель. Тоді для будь-якої ВВ на і маємо, що

.

Одержане протиріччя свідчить, що припущення про існування арбітражної стратегії невірно.

Зауважимо, що шляхом індукційних міркувань по можливо встановити, що щільність має вигляд

, де .

Розглянемо приклади, що характеризують сутність методології хеджування.

Приклад 1. Нехай на імовірнісному просторі з множиною елементарних подій і алгебрами подій та заданий біноміальний “однокроковий” - ринок: , грн., , грн. з імовірністю і 80 грн. з імовірністю .

Опціон колл обумовлює в момент виплату грн. з імовірністю 0,4 і 0 грн. з імовірністю 0,6. Знайдемо евристичну ціну , ризик-нейтральну ціну і ціну мінімального хеджування цього опціону. Маємо, що

грн.

Позначимо через

стратегію, що відтворює

.

Враховуючи рівності

і

можна переписати останнє рівняння у вигляді системи:

,

що має розв'язки . Отже, ціна мінімального хеджування опціону грн. Відмітимо, що побудована стратегія хеджування передбачає, що при управлінні ризиком береться кредит ( - від'ємне) і відповідні кошти (у кількості ?) вкладається в акції.

Розрахунок ціни на основі ризик-нейтральної ймовірності призводить до знаходження з умови

,

і, отже, “ризик-нейтральна” ціна

грн.

грн.>грн.

Приклад 2. На тому ж ринку, що і в прикладі 1 розглянемо інший дериватив з виплатами в момент величиною . Тоді з ймовірністю 0,4 і з ймовірністю 0,6. Отже,

грн.

Стратегія мінімального хеджування як і в попередньому випадку визначається умовою, що дає систему

і, отже

грн.

“Ризик-нейтральна” ціна дорівнює

грн.

Отже тут .Стратегія управління ризиком цього зобов'язання відрізняється від прикладу 1 тим, що тут потрібно взяти в борг акції S (в кількості ? ) і розмістити кошти на банківському рахунку.

ІІ. Знайдемо “ризик-нейтральну” ціну європейського опціону покупця в термінах параметрів моделі біноміального - ринку.

Позначивши через індикатор події маємо

де

де - ціла частина .

Позначимо

Тоді

Отже, маємо таку формулу Кокса-Росса-Рубінштейна для ціни європейського опціону покупця в момент

де і визначається формулами (4) - (6).

Аналіз застосованої методології призводить до висновку, що ціна такого деривативу в момент буде

де .

Зауважимо, що величина є капіталом мінімального хеджу в момент , а структура формули (8) показує, що цей хедж має ризикову компоненту . Інша компонента визначається з умови самофінансування. Тобто, за допомогою формули Кокса-Росса-Рубінштейна (8) досягається повний опис стратегії ризик-нейтрального управління для опціону покупця європейського типу.

ІІІ. Опціон продавця (опціон пут) європейського типу є зобов'язанням і дає право продати акцію не за ринковою вартістю в момент , а по наперед обумовленій ціні . Графіки обох опціонів колл і пут наведено на рис.3.

а) опціон колл б) опціон пут

Рис.3. Графіки опціонів покупця і продавця

Якщо - ціна опціону пут, то з врахуванням рівності

та мартингальності послідовності маємо формулу Столла (формулу паритету покупця і продавця )

яка дозволяє перерахувати ці опціони один через інший.

Для класу деривативів виду , де - гладка функція класу , ціна може бути виражена через ціну опціону колл за формулою:

.

Цей результат легко отримати використавши формулу Тейлора

,

в яку замість треба підставити , після чого помножимо все на і застосуємо усереднення по мірі .

В цілому для довільного деривативу його вартість має такі властивості: 1) вона одночасно влаштовує і продавця деривативу (при правильному інвестуванні завжди є можливість з зробити капітал, достатній, щоб розплатитися) і покупця (він сплачує найменшу величину достатню продавцю для хеджування), тобто в цьому розумінні вартість є справедливою, а ризик для обох сторін мінімальний; 2) якщо продавець реалізує дериватив за ціною , то він одержує арбітражну можливість: вкласти в мінімальний хедж і мати ще прибуток , що не залежить від ринкової кон'юнктури; 3) якщо продавець деривативу призначає ціну , то він надає покупцю арбітражний прибуток .

Якщо розглянути на біноміальному - ринку з часовим горизонтом послідовність (портфель) платіжних зобов'язань , що виконуються в моменти , то управління таким портфелем не викликає особливих труднощів через розвинуту вище теорію. Дійсно для кожного зобов'язання обчислюється його ціна, де - дисконт-фактор, що відповідає ставці , , а ціна портфелю є сумою всіх :

Послідовність можна трактувати як змінну стохастичну ренту, а формулу (10) як її сучасну вартість.

IV. Розглянемо тепер розрахунки вартості опціонів американського типу, що дають право його власнику пред'являти опціон до виконання у будь-який момент часу до кінцевої дати .

Для побудови відповідної методології розрахунків знадобиться більш складний апарат теорії випадкових процесів такий як моменти зупинки, супермартингали.

Нехай інформаційний потік -алгебр , що несе інформацію про динаміку цін активу , , який ще називається фільтрацією на імовірнісному просторі . Невід'ємна стохастична послідовність називається узгодженою з потоком (фільтрацією) , якщо для кожного є - вимірною ВВ. Будемо розглядати таку послідовність як послідовність платіжних зобов'язань на фінансовому - ринку. Розглянемо випадкові величини , які приймають свої значення “не забігаючи” у майбутнє потоку , тобто . Їх називають марківськими моментами або моментами зупинки (МЗ) (відносно фільтрації ). За послідовністю, і МЗ побудуємо нове платіжне зобов'язання

Структура показує, що воно визначається всією історією торгів до моменту , але виконується у випадковий момент , що називається теж моментом виконання.

Застосовуючи висвітлену вище методологію управління ризиком до даного зобов'язання , визначаємо його ціну за допомогою усереднення по ризик-нейтральній мірі для біноміального - ринку: .

Позначимо через множину МЗ ф зі значеннями .Тоді буде множиною всіх МЗ. Розглянемо портфель всіх зобов'язань . Оскільки - це “ризик-нейтральний” прогноз майбутніх виплат , то ясно, що як адаптовану до ризику, пов'язаному з цим портфелем, ціну портфелю треба взяти максимальний з цих прогнозів:

,

де . Оскільки набір - скінчений, то знайдеться такий МЗ , що

,

який і слід взяти як момент виконання всього портфеля зобов'язань .

З математичної точки зору знаходження пари є розв'язанням задачі оптимальної зупинки стохастичної послідовності , а з точки зору фінансової економіки - розв'язанням задачі розрахунку деривативу (опціону) американського типу з правом його пред'явлення в будь-який момент до кінцевої дати . Зауважимо, що такі опціони складають у розвинутих країнах переважну більшість опціонної торгівлі (більш 90%).

Розглянемо методологію відповідних розрахунків. Тут повністю зберігається поняття стратегії (портфелю) і відповідно капіталу . Стратегія називається хеджем, якщо майже напевно (м.н.) для довільних . При цьому (м.н.) для будь-якого МЗ . Хедж - мінімальний, якщо для всіх капітал (м.н.) для будь-якого іншого хеджу .

Розглянемо стохастичну послідовність “максимальних прогнозів”:

.

Очевидні граничні значення цієї послідовності і . З'ясуємо структуру послідовності переписавши її термінальне значення через єдиний в класі МЗ . При

Тобто . Покладаючи МЗ

якщо

,

в протилежному випадку,

знаходимо, що дорівнює або, або.Для довільного маємо, що

Продовжуючи вказану процедуру в оберненому часі, остаточно знаходимо, що , а .

Розглянемо тепер побудову мінімального хеджу американського опціону. З (11) маємо, що

( - м.н.), .

Подібні стохастичні послідовності називають супермартингалами.

Загалом стохастична послідовність визначена на імовірнісному просторі з фільтрацією є супермартингалом, якщо , для всіх t і (-м.н.) для всіх .Стохастична послідовність визначена на тому ж просторі називається послідовністю, що передбачається (відносно фільтрації ), якщо ВВ є - вимірною для всіх , - стала.

Кожний супермартингал на стохастичному базисі можна однозначно зобразити як різницю мартингалу і монотонно неспадного процесу , що передбачається; . Це зображення називається розкладом Дуба.

Для доведення цього позначимо і покладемо

.

Тоді ВВ є - вимірними,

і - мартингал, бо

.

Єдиність розкладу Дуба неважко перевірити міркуваннями від оберненого.

Нехай - розклад Дуба супермартингалу . Скористаємось тим, що мартингал на “бернуллієвім просторі”, що розглядається, можна подати у вигляді

де - деяка стохастична послідовність, що передбачається (доведення цього можна знайти напр. в [8], [9]).

Тоді, почавши з , побудуємо за допомогою стратегію з капіталом , так що.Збудована стратегія є мінімальним хеджем, бо

(м.н.) для всіх

і за побудовою

Приклад 3. Нехай потрібно розрахувати опціон американського типу на двохкроковому - ринку, де грн. , а виплати , , , , , причому приймають значення 0,5 з імовірністю і значення - 0,3 з імовірністю .

Підрахунок “бернуллієвої” ймовірності , що визначає ризик-нейтральну ймовірність в даному прикладі є аналогічним підрахунку прикладу 1 і, отже, . Розглянемо структуру максимальних прогнозів

.

Умовне середнє

і тому

Враховуючи рівність , приходимо до і оптимальному моменту виконання .

6.5 Платіжні зобов'язання на неповних ринках

В попередніх параграфах було показано, що принцип безарбітражності у випадку повних фінансових ринків дає можливість дати досить повні відповіді з розрахунків вартості платіжних зобов'язань (деривативів) на цих ринках. Виникає питання: якою може бути його реалізація для неповних ринків, коли множина відповідних мартингальних мір не зводиться до однієї міри?

Наприклад, якщо в дискретній моделі - ринку випадкові ставки , що задають доходності ризикового активу приймають більше двох значень, то ризик-нейтральних імовірностей може бути багато і відповідно ми маємо стільки ж варіантів усереднених дисконтованих цін , як тоді вибрати без арбітражні ціни для зобов'язання ?

Природна відповідь така: потрібно розглянути відрізок

З результатів попереднього параграфу випливає, що кожне число цього відрізку може прислугувати безарбітражною ціною деривативу . Розглянемо пояснення цього з іншого боку. Нехай - термінальний капітал стратегії з початковим капіталом . Визначимо величини

для деякої, для деякої

Коли одна, то існує хедж з початковим капіталом і термінальним капіталом , що співпадає з . Отже, тоді . В загальному випадку, і відрізок є максимальною областю безарбітражних цін (тобто цін, при яких обидві сторони контракту зі зобов'язанням повинні ризикувати), а є інтервалом арбітражних цін для покупця деривативу, і - інтервалом арбітражних цін для продавця деривативу.

Приклад 1. Якщо , то з одержаної премії x потрібно взяти і цю суму збудувати стратегію , таку що , що можливо з визначення . Тоді є чистим доходом продавця.

В дійсності

,

що дає принциповий спосіб управління ризиком деривативу у ситуації неповного ринку. Для відшукання верхньої та нижньої цін і деривативу розроблена методологія суперхеджування, за якою зобов'язання (можливо досить складної структури) домінується іншим, більш простим деривативом (м.н.), яке реплікується стратегією, що самофінансується. Тоді початковий капітал цієї стратегії можливо взяти як “суперціну” . Далі для кожної маємо, що ,а з означення і випливає їх співпадіння з верхньою й нижньою суперціною.

Приклад 2. Розглянемо опціон покупця . Через те, що маємо . За нерівністю Ієнсена для довільної маємо (з урахуванням мартингальності відносно ), що

.

Отже , а з урахуванням специфіки моделі ринку зовнішні нерівності тут стають рівностями, що приводять до значень і .

Величина називається спредом і характеризує міру неповноти ринку. Неповні ринки є першим кроком відходу від ідеальності - ринку через більш складну імовірнісну структуру цін активу (наприклад, коли волатильність є випадковою).

Ще більш реалістичним є ринки з обмеженнями (напр. різні ставки для набору з різних безризикових активів, заборони “коротких” продаж тощо). Розглянемо просту модель такого ринку -- ринок, для якого

де як і раніше - послідовність НОРВВ (доходних ставок активу ), що приймають два значення і з ймовірностями і , відповідно. Активи та - можливо інтерпретувати як депозитний і кредитний рахунки, а - як акцію. Зокрема, при маємо просто - ринок.

Стратегія (портфель) на - ринку складається з трьох послідовностей, що передбачаються (залежать в кожен момент тільки від ), . Її капітал є , а його невід'ємність означає припустимість стратегії. Самофінансованість означає, що . Щоб уникнути арбітражу через введемо заборону на одночасне розміщення капіталу на депозитному і кредитному рахунках, тобто , а .

Будемо ототожнювати стратегію р з пропорцією ризикового капіталу . Через описане вище обмеження на стратегії інвестор буде вкладати частку свого капіталу на депозит, а - - на кредитний рахунок. Тоді еволюція капіталу має вигляд

.

На неповному - ринку ціна деривативу визначалась однозначно з принципу безарбітражності. Для неповного ринку це втрачається, і принцип безарбітражності дає інтервал без арбітражних цін . Це відбувається і на - ринку.

Для розрахунку “розумних” цін деривативу на - ринку побудуємо допоміжний - ринок і знайдемо умови, коли капітал стратегій з тією ж самою ризиковою пропорцією співпадають на обох ринках. Введемо сталу і визначимо - ринок:

Згідно теорії, викладеної вище, що застосовується до - ринку ціна деривативу визначається однозначно як початковий капітал мінімального хеджу і дорівнює , де - усереднення по - мартингальній імовірності - ринку.

За пропорцією побудуємо відповідні стратегії і на - ринку і - ринку. Виявляться, що при має місце еквівалентність: для всіх тоді і тільки тоді, коли для всіх виконується рівність

Відповідно рівність боргових капіталів еквівалентна умові

Для доведення звернемося до рівняння еволюції капіталу на - ринку:

Аналогічно на - ринку маємо

.

При рівності початкових капіталів ці співвідношення призводять до потрібної еквівалентності, що закладає основу розрахунку ціни на - ринку, коли для будується - ринок.

На - ринку береться мінімальна хеджуюча стратегія і знаходиться справедлива ціна як початковий капітал цієї стратегії. Далі визначаються і як значення нижньої та верхньої ціни на вихідному ринку з обмеженнями.

Реалізуємо цю методологію для опціону покупця з . Тоді визначається формулою Кокса-Росса-Рубінштейна і як функція , що належить відрізку , є зростаючою. Тому на - ринку нижня і верхня межі ціни для можуть бути знову визначені за тією ж формулою, що застосовується на - ринках зі ставками і відповідно:

Ціни показують несиметричність позицій покупця і продавця на - ринку. переважна для покупця як та мінімальна ціна опціону, що гарантує йому термінальну виплату. Тут бажання покупця гарантовано придбати майбутню виплату за мінімально можливою ціною призводить до використання стратегії при і перетворенню умови еквівалентності в , або . відображає точку зору продавця в його намірі продати опціон так дорого, щоб не втрачалися його якості як інвестиційного інструменту для покупця. Продажем опціону продавець придбає борг , відкладений до моменту . Ціна опціону повинна зрівноважувати цей борг на момент продажу опціону. Тому використовується стратегія при і умова рівності боргових капіталів зводиться до , або .

Приклад. Продовжимо розгляд прикладу 1 з параграфу 6.4 з ціною акції грн. і 80грн. з імовірностями і відповідно. Припустимо, що і . Згідно формул (1) маємо, що

грн.

грн.

Тому спред такого - ринку дорівнює

.

Якщо аналогічний розрахунок провести для - ринку зі ставками , , то

і спред

.

Таким чином цей приклад, де, як неважко перевірити, умови еквівалентності і виконуються, показує зменшення спреду як міри неідеальності (неповноти) - ринку при зближенні ставок кредиту й депозиту.

Для неповних ринків поряд з суперхеджуванням можна використовувати й інші підходи для визначення цін платіжних зобов'язань й управління ризиком інвестора. До них відносяться застосування теорії корисності при прийнятті відповідних рішень, хеджування у середньоквадратичному. Коротко зупинимося на останньому підході.

Визначимо ризик, пов'язаний з хеджуванням платіжного зобов'язання стратегією р у випадку моделі ринку з неперервним часом формулою

.

Тоді відповідна стратегія і початковий капітал обираються з умовами мінімізації цього ризику по припустимим значенням і .

Подібним чином ризик можна визначати як для неповних, так і повних ринків. Відмітимо, що в разі моделі Блека-Шоулса ціна деривативу і стратегія , що хеджує його, співпадає відповідно зі значенням і стратегією , що мінімізує значення . В разі дискретної моделі - ринку, коли фізична міра є мартингальною, і визначаються як

.

В цілому, для неповних ринків ризик, пов'язаний з “не дуже ризикованими” платіжними зобов'язаннями, не може бути зведеним до нуля, але його можна мінімізувати.

Коротко обговоримо співвідношення між повними і неповними ринками. Поряд зі спредом можна використовувати й інші характеристики неповноти ринку: лізинг й накладні видатки. Звичайно лізінг активу пропорційний його ціни: , а накладні видатки - його ціні й зміні портфелю: .Параметри і називаються коефіцієнтами лізингу й накладних видатків. Введення нових фінансових інструментів (продуктів) робить вихідний ринок “більш повним” і відповідно зменшує і . Р.Мертон першим визначив рух ринків як фінансово - інноваційну спіраль до напрямку ідеальних, повних ринків, через інноваційний розвиток посередницьких структур, що стають більш відкритими до нових фінансових продуктів й послуг, будуть розширювати й свою географію, нівелюючи тим самим геополітичні переваги різних фінансових інституцій. Але слід брати до уваги й протилежні тенденції, за якими нарощення розмірів й складності фінансових угод, глобальна взаємозалежність ринків збільшують загальні фінансові ризики (зокрема кредитний) та утворюють реальні можливості для виникнення широкомасштабних фінансових криз.

Читача, зацікавленого у більш повній інформації про стан і перспективи розвитку та про викладання сучасної фінансової економіки та фінансової математики, ми відсилаємо до загальних методологічних праць у цьому напрямку С.Велана, Д.Бові й А.Хібберта (S.F. Whelan, D.C. Bowie, A.J. Hibbert, A Primer in Financial Economics, British Actuarial Journal, vol. 8 N 1, p.27-24, 2002) та Р.Мертона [24] та наведеній в них літературі та її огляду.

Література

1. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. -М.: Инфра - М, 1998.

2. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. - М.: Наука, 1975.

3. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. 2-е изд. доп. - М.: Наука, 1978.

4. Кидуэлл Д.С., Петерсон Р.Л., Блэквелл Д.У. Финансовые институты, рынки и деньги. -- Спб., „Питер”, 2000.

5. Кутуков В.Б. Основы финасовой и страховой математики. - М.: “Дело”, 1998.

6. Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. - К.: Інформтехніка, 1995.

7. Малыхин В.И. Финансовая математика. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 1999.

8. Мельников А.В. Финансовые рынки. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. - М.: ТВП, 2000.

9. Мельников А.В. Риск-менеджмент. Стохастический анализ рисков в экономике финансов и страхования. 2-е изд. доп. - М.: “Анкил”, 2001.

10. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. - М.: Высшая Школа Экономики, 2001.

11. Мишкін Ф.С. Економіка грошей, банківської справи і фінансових ринків. - К.: Основи, 1998.

12. Первозванский А.А., Первозванская Т.П. Финасовый рынок: Расчет и риск. -М.: Инфра - М, 1994.

13. Пономаренко О.І. Основи теорії фінансів. - К.: ЕМЦ, 1998.

14. Пономаренко О.І. Фінансовий аналіз. Вип.1,2. - К.: ЕМЦ, 2001.

15. Пономаренко А.И. Банковское дело для финансовых аналитиков.Части 1,2. - К.: ЕМЦ, 2002.

16. Скороход А.В. Лекції з теорії випадкових процесів. - К.: Либідь, 1990.

17. Уошел Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. Пер. с англ. - М.: “Финансы”, “ЮНИТИ”,1999.

18. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции. Пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 1998.

19. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. - М.: Фазис, 1998.

20. Четыркин Е.М. Финансовая математика. - М.: Дело, 2000.

21. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. - М.: Наука, 1974.

22. Elton E.E., Gruber M.Y. Modern portfolio theory and investment analysis. - N.Y., J.Wiley, 4-d ed., 1991.

23. Karatzas I. Shreve S.E. Methods of Mathematical Finance. - Springer, Berlin, New York, 1998.

24. Merton R.C. Future Possibilities in Finance Theory and Finance Practice. - Mathematical Finance. Bachelier Congress, 2000. - Springer, Berlin, New York, 2002, p. 47 - 73.

25. McGutheon J.J., Scott W.F. An introduction to the mathematics of finance. - Oxford, Hieneman, 1986.

26. Pliska S. Introduction to Mathematical Finance. Blackwell Publisher; Oxford, Malden, 1997.

27. Shafen G., Vovk V. Probability and Finance. It's Only a Game. - Chichester: Wiley, 2001.

28. Пономаренко О.І. Вступ до актуарної математики. - К.: ЕМЦ, 2003.