Операции с ценными бумагами
1.Введение
Рассмотрим модель (B,S)- рынка , функционирующего в моменты времени
n=0,1,..., N0, (1.1)
где процентная ставка r>0.
Стоимость акции S=(Sn) изменяется по закону
Sn=(1+pn)Sn-1 , S0>0, (1.2)
где p=(pn)- ” хаотическая “ последовательность , причем pn принимают только
два значения a и b такие , что
-1K , то владелец опциона предъявит его к
исполнению , то есть купит акции по цене K. После этого он может их продать
и получить прибыль Sn-K. Если цена акции Sn будет меньше или равна К , то
покупатель не предъявит опцион к исполнению так как не получит никакой
прибыли. То есть продавец опциона должен выплатить его покупателю max(Sn-
K).
Цена на опцион определяется исходя из того , что продавец опциона
должен получить от покупателя такую сумму минимальную сумму , чтобы в любой
из возможных ситуаций.обеспечить выполнение условий контракта.
2.Расчет стоимости и хеджирующей стратегии для одного периода
Европейского колл-опциона.
Пусть
S-текущая цена акции
С-цена колл-опциона
К-цена исполнения опциона
r-безрисковый процент
Сa-выплата по опциону в случае понижения цены акции к началу
следующего периода
Сb-выплата по опциону в случае повышения цены акции к началу
следующего периода
Исходя из рассматриваемой модели цена акции к началу следующего периода
может либо понизиться до S(1+a) , либо повыситься до S(1+b)
По определению Европейского колл-опциона продавец опциона должен выплатить
покупателю
Сa=max(0,S(1+a)-K)) (2.1)
в случае понижения цены акции
или Сb=max(0,S(1+b)-K)) (2.2)
в случае повышения цены акции
Пусть С-цена Европейского колл-опциона , тогда продавец опциона должен
таким образом сформировать портфель
X0=(B+(S, (2.3)
чтобы на начало следующего периода иметь возможность осуществить следующие
выплаты
Сa=((1+r)B+((1+a)S, (2.4)
в случае понижения цены и
Сb=((1+r)B+((1+b)S, (2.5)
в случае повышения цены
Решая систему уравнений
Сa=((1+r)B+((1+a)S, (2.6)
Сb=((1+r)B+((1+b)S,
Получим следующие значения ( и (
[pic] (2.7)
[pic] (2.8)
Подставляя полученные значения в (2.3) получим
[pic] (2.9)
Цена колл-опциона C должна равняться цене портфеля X0 иначе существует
возможность получения арбитражной прибыли.
Таким образом цена Европейского колл-опциона для одного периода
определяется по формуле
[pic] (2.10)
А значения ( и ( для формирования портфеля по формулам (2.8) и (2.9)
соответственно.
3.Расчет стоимости и хеджирующей стратегии для нескольких периодов
Европейского колл-опциона.
Используем полученные в п.2 результаты для определения цены Европейского
колл-опциона для нескольких периодов
Рассмотрим двухпериодный вариант
Пусть
S-текущая цена акции
С-цена колл-опциона
К-цена исполнения опциона
r-безрисковый процент
Сaa-выплата по опциону в случае понижения цены акции по окончании
второго периода при понизившейся цене по окончании первого периода
Сbb-выплата по опциону в случае повышения цены акции по окончании
второго периода при повысившейся цене по окончании первого периода
Сba-выплата по опциону в случае понижения цены акции по окончании
второго периода при повысившейся цене по окончании первого периода
Сab-выплата по опциону в случае повышения цены акции по окончании
второго периода при понизившейся цене по окончании первого периода
Платежи по колл-опционам составят
Сaa=max(0,S(1+a)(1+a)-K)
Сab=max(0,S(1+a)(1+b)-K)
Сba=max(0,S(1+b)(1+a)-K)
Сbb=max(0,S(1+b)(1+b)-K)
Для расчета цены колл-опциона воспользуемся формулой 2.10
[pic] (2.11)
Где Сa выразим через Сaa и Сab , а Сb через Сbb и Сba.
[pic] (2.12)
[pic] (2.13)
Подставим полученные значения в (2.11)
[pic]
(2.14)
Упрощая выражение (2.14) получаем следующее значение цены колл-опциона
[pic] (2.15)
или если подставить значения выплат по опционам
[pic]
(2.16)
Если провести аналогичные вычисления для трех периодов Европейского колл-
опциона то получим следующее выражение:
[pic]
(2.17)
Используя метод математической индукции для n периодов получим следующее
значение для цены Европейского колл-опциона.
[pic] (2.18)
Если для полученной формулы ввести обозначение
[pic], (2.19)
то видно , что формула (2.17) для расчета цены Европейского колл-опциона
совпадает со значением цены Евопейского колл-опциона опубликованном в
статье Ширяева А.Н. “К теории расчетов опционов Европейского и
Американского типов, I: Дискретное время.-Теория вероятности и ее
применение 1994 , т.39, в.1,с80-129.
