Модель прогнозирования параметров финансовых рынков и оптимального управления инвестиционными портфелями
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ И ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ.
Выполнил:
Проверил:
г.Пермь 2000.
Построение математической модели прогнозирования поведения является
трудной задачей в связи с сильным влиянием политических и других проблем
(выборы, природные катаклизмы, спекуляции крупных участников рынка…).
В основе модели лежит анализ некоторых критериев с последующим
выводом о поведении доходности и ценовых показателей. В набор критериев
входят различные макро- и микроэкономические показатели, информация с
торговых площадок, экспертные оценки специалистов. Процедура
прогнозирования состоит из этапов:
1. Подготовка и предварительная фильтрация данных;
2. Аппроксимация искомой зависимости линейной функцией;
3. Моделирование погрешности с помощью линейной сети.
Но для повышения точности модели практикуется нелинейный анализ с
использованием многослойной однородной нейронной сети. Этапы проведения
нелинейного анализа в системе совпадают со стандартными шагами при работе с
нейросетями.
1-й этап. Подготовка выходных данных.
Выходными данными являются zi = yi-pi, где yi - реальное значение
прогнозируемой величины на некоторую дату, pi - рассчитанное на эту дату с
помощью линейного анализа.
2-й этап. Нормирование входных сигналов.
[pic] (1)
где xij - j-я координата некоторого критерия Xi, M[Xi] - выборочная
оценка среднего квадратичного отклонения.
3-й этап. Выбор функции активации и архитектуры нейронной сети.
Используются функции активации стандартного вида (сигмоидная,
ступенчатая), а также следующего вида:
[pic] (2)
[pic] (3)
[pic] (4)
[pic] (5)
Архитектура нейронной сети представлена на рисунке:
вектор
входных
сигналов вектор
выходн.
Вектор сигналов
входных
сигналов
Введены следующие обозначения: (j - линейные сумматоры; fj -
нелинейные функции; используемые для аппроксимации; ( - итоговый сумматор.
4-й этап. Выбор алгоритма обучения нейронной сети, основанного на
одном из следующих методов: обратного распространения ошибки, градиентного
спуска, метода сопряженных градиентов, методе Ньютона, квазиньютоновском.
Методы оцениваются по времени, затрачиваемому на обучение и по величине
погрешности.
5-й этап. Итоговые вычисления границ прогнозируемого значения:
P=Pлин+Рнелин(Енелин
где Р — итоговое прогнозируемое значение, Рлин и Рнелин значение
линейного и нелинейного анализов. Енелин — погрешность полученная на этапе
нелинейного анализа.
Результаты задачи прогнозирования используются в построенной на ее
основе задаче оптимального управления инвестиционным портфелем. В основе
разработанной задачи управления идея минимизации трансакционных издержек по
переводу портфеля в класс оптимальных.
Используемый поход основан на предположениях, что эффективность
инвестирования в некий набор активов является реализацией многомерной
случайной величины, математическое ожидание которой характеризует
доходность (m={mi}i=1..n, где mi=M[Ri], i=1..n), матрица ковариаций — риск
(V=(Vij), i,j=1..n, где Vij=M[(Ri-mi)(Rj-mj)],i,j=1..n). Описанные
параметры (m,V) представляют собой оценку рынка и являются либо
прогнозируемой величиной, либо задаются экспертно. Каждому вектору Х,
описывающему относительное распределение средств в портфеле, можно
поставить в соответствие пару оценок: mx=(m,x), Vx=(Vx,x). Величина mx
представляет собой средневзвешенную доходность портфеля, распределение
средств в котором описывается вектором Х величина Vх (вариация портфеля
[3,5]) является количественной характеристикой риска портфеля х. Введем в
рассмотрение оператор Q, действующий из пространства Rn в пространство R2
(критериальная плоскость [3]), который ставит в соответствие вектору х пару
чисел (mx, Vx):
Q: Rn-R2 ( (x(Rn, x(((m,x),(Vx,x)). (7)
В задаче управления допустимыми считаются только стандартные
портфели, т.е. так называемые портфели без коротких позиций. Правда это
накладывает на вектор х два ограничения: нормирующее условие (е,х)=1, где е
– единичный вектор размерности n, и условие неотрицательности доли в
портфеле, х>=0. Точки удовлетворяющие этим условиям образуют dв
пространствеRn так называемый стандартный (n-1)-мерный симплекс. Обозначим
его (.
(={x(Rn((e,x)=1, x(0}
Образом симплекса в критериальной плоскости будет являться замкнутое
ограниченное множество оценок допустимых портфелей. Нижняя граница этого
множества представляет собой выпуклую вниз кривую, которая характеризует
Парето – эффективный с точки зрения критериев выбор инвестора (эффективная
граница [3], [5]). Прообразом эффективной границы в пространстве Rn будет
эффективное множество портфелей [5]. Обозначим его как (. Данное множество
является выпуклым: линейная комбинация эффективных портфелей также
представляет собой эффективный портфель [3].
Пусть в некоторый момент времени у нас имеется портфель,
распределение средств в котором описывается вектором х. Тогда задачу
управления можно сформулировать в следующем виде: найти такой элемент y,
принадлежащий (, что ((y,x). Иными словами, для заданной точки х требуется
найти ближайший элемент y, принадлежащий множеству (. В пространстве Rn
справедлива теорема, доказывающая существование и единственность элемента
наилучшего приближения х элементами множества ([6]. Метрика (понятие
расстояния) может быть введена следующим образом:
((x,y)=((i=1,nsup(yi-xi,0)+((i=1..nsup(xi-yi,0), (9)
где (>0 — относительная величина издержек при покупке, (>0 —
относительная величина издержек при продаже актива.
Литература
1. Сборник статей к 30-ти летию кафедры ЭК. ПГУ.
2. Ивлиев СВ Модель прогнозирования рынка ценных бумаг. 6-я
Всероссийская студенческая конференция «Актуальные проблемы
экономики России»: Сб.тез.докл. Воронеж, 2000.
3. Ивлиев СВ Модель оптимального управления портфелем ценных бумаг.
Там же.
-----------------------
(1
(m
f1
f1
(
