|
Экономико-математические методы
7
Контрольная работа по курсу «Экономико-математические методы»
Вариант 0
Задача 1. Необходимо составить оптимальный суточный рацион кормления на стойловый период для дойных коров живой массой 550 кг. Минимальная потребность коров в кормовых единицах и переваримом протеине в зависимости от суточного удоя приведена в табл. 2.
Таблица 2. Суточная потребность в питательных веществах дойных коров живой массой 550 кг
№ варианта
|
Среднесуточный удой, кг
|
Потребность в
|
|
|
|
кормовых единицах, кг
|
переваримом протеине, г
|
|
0
|
12
|
10,3
|
1136
|
|
|
Рацион составляется из трех видов кормов: комбикорма, сена и силоса. Содержание питательных веществ в единице каждого вида корма показано в табл. 3.
Таблица 3. Содержание питательных веществ в 1 кг корма и себестоимость кормов
Показатель
|
Комбикорм
|
Сено
|
Силос
|
|
Кормовые единицы, кг
|
1
|
0,5
|
0,2
|
|
Переваримый протеин, г
|
160
|
60
|
30
|
|
Себестоимость 1 кг корма, руб.
|
4,2
|
0,9
|
0,6
|
|
|
Согласно физиологическим особенностям животных в рационе должно содержаться следующее допустимое количество концентрированных и грубых кормов (табл. 4)
Таблица 4. Потребность коров в концентрированных и грубых кормах, % от общей потребности в корм. ед.
№ варианта
|
Концентрированные корма, не менее
|
№ варианта
|
Грубые корма, не более
|
|
0
|
26%
|
0
|
21%
|
|
|
Составить рацион кормления коров, имеющий минимальную себестоимость. Требуется решить задачу вручную симплексным методом.
Решение:
Выразим все условия задачи в виде системы ограничений и запишем целевую функцию. Для этого обозначим через х1 - искомое содержание комбикорма в рационе (кг), через х2 - сена (кг) и через х3 - силоса (кг).
Составим систему ограничений:
1) условие по содержанию кормовых единиц в рационе:
1*х1+0,5*х2+0,2*х310,3
2) условие по содержанию переваримого протеина в рационе:
160*х1+60*х2+30*х31136
3) условие по содержанию концентратов в рационе (не менее 10,3 кг корм. ед. х 0,26 = 2,678 кг корм. ед.):
1*х12,678
4) условие по содержанию грубых кормов в рационе (не менее 10,3 кг корм. ед. х 0,21 = 2,163 кг корм. ед.):
0,5*х22,163
Целевая функция - минимум себестоимости рациона:
Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3min
Перейдем в системе ограничений от неравенств к равенствам, для этого введем дополнительные переменные:
1) 1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4=10,3
2) 160*х1+60*х2+30*х3-х5=1136
3) 1*х1-х6=2,678
4) 0,5*х2+х7=2,163
Целевая функция - минимум себестоимости рациона:
Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7min
Дополнительные переменные имеют следующий экономический смысл:
х4 - количество кормовых единиц сверх минимума, кг
х5 - количество переваримого протеина сверх минимума, г
х6 - количество концентрата сверх минимума, кг корм. ед.
х7 - разница между максимальной потребностью в грубых кормах и фактическим содержанием в рационе, кг корм. ед.
В ограничениях, в которых нет дополнительных переменных с коэффициентом «+1», введем искусственные переменные с коэффициентом «+1». В целевую функцию введем их с оценками «М», т.к. задача решается на минимум.
1) 1*х1+0,5*х2+0,2*х3-х4+у1=10,3
2) 160*х1+60*х2+30*х3-х5+у2=1136
3) 1*х1-х6+у3=2,678
4) 0,5*х2+х7=2,163
Z=4,2*х1+0,9*х2+0,6*х3+0*х4+0*х5+0*х6+0*х7+М*у1+М*у2+М*у3min
F=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6) 0
Разрешим уравнение относительно искусственных и дополнительных переменных с коэффициентами «+1». Аналогично запишем целевую функцию, представив ее для удобства двумя строками:
1) у1=10,3-(1*х1+0,5*х2+0,2*х3-1*х4)
2) у2=1136-(160*х1+60*х2+30*х3-1*х5)
3) у3=2,678-(1*х1-1*х6)
4) х7=2,163-(0,5*х2)
Z=0-(-4,2*х1-0,9*х2-0,6*х3) min
F=1151,141M-(157,8M*х1+60,1M*х2+29,6M*х3-M*х4-M*х5-M*х6) 0
Заполним симплексную таблицу 1:
i
|
Базисные переменные
|
Свободные члены, bi
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
bi/aij
|
|
1
|
y1
|
10,300
|
1,000
|
0,500
|
0,200
|
-1,000
|
0,000
|
0,000
|
10,300
|
|
2
|
y2
|
1136,000
|
160,000
|
60,000
|
30,000
|
0,000
|
-1,000
|
0,000
|
7,100
|
|
3
|
y3
|
2,678
|
1,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
-1,000
|
2,678
|
|
4
|
x7
|
2,163
|
0,000
|
0,500
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
-
|
|
m+1
|
Z
|
0,000
|
-4,200
|
-0,900
|
-0,600
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
X
|
|
m+2
|
F
|
1151,141M
|
157,8M
|
60,1M
|
29,6M
|
-M
|
-M
|
-M
|
x
|
|
|
1. Разрешающий столбец - х1.
2. Разрешающая строка - у3.
3. Заполняется симплексная таблица 2.
3.1. Переменная у3 выводится из базиса, переменная х1 вводится в базис.
3.2. Расчет элемента, стоящего на месте разрешающего:
1/1=1
3.3. Расчет элементов начальной строки, стоящей на месте разрешающей:
2,678/1=2,678; 0/1=0; 0/1=0; 0/1=0; 0/1=0;-1/1=-1
157,8М/(-1)=157,8М
3.4. Расчет остальных элементов таблицы:
Столбца bi:
10,300-1*2,678=7,622; 1136,000-160,000*2,678=707,520; 2,163-0,000*2,678=2,163;
0-(-4,200)*2,678=11,248; 1151,141M-157,8M*2,678=728,552М;
Столбца х2:
0,500-1,000*0,000=0,5000; 60,000-160,000*0,000=60,000 и т.д. - переписывается без изменения, т.к. при расчете требуется постоянно умножать на 0,000
без изменения также переписываются столбцы х3, х4, х5, поскольку в этих столбцах в начальной строке стоят нулевые элементы.
Расчет элементов столбца х6:
0,000-1,000*(-1,000)=1,000; 0,000-160,000*(-1,000)=160,000;
0,000-0,000*(-1,000)=0,000; 0,000-(-4,200)*(-1,000)=-4,200;
-М-157,8M*(-1,000)=156,8М.
Аналогично составляем симплексную таблицу 2:
i
|
Базисные переменные
|
Свободные члены, bi
|
y3
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
bi/aij
|
|
1
|
y1
|
7,622
|
-1,000
|
0,500
|
0,200
|
-1,000
|
0,000
|
1,000
|
7,622
|
|
2
|
y2
|
707,520
|
-160,000
|
60,000
|
30,000
|
0,000
|
-1,000
|
160,000
|
4,422
|
|
3
|
x1
|
2,678
|
-1,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
-1,000
|
-2,678
|
|
4
|
x7
|
2,163
|
0,000
|
0,500
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
-
|
|
m+1
|
Z
|
11,248
|
-4,200
|
-0,900
|
-0,600
|
0,000
|
0,000
|
-4,200
|
X
|
|
m+2
|
F
|
728,552М
|
-157,8M
|
60,1M
|
29,6M
|
-M
|
-M
|
156,8М
|
x
|
|
|
Симплексная таблица 3:
i
|
Базисные переменные
|
Свободные члены, bi
|
y3
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
y2
|
bi/aij
|
|
1
|
y1
|
-152,378
|
|
-159,500
|
-159,800
|
-161,000
|
-160,000
|
|
0,955
|
|
2
|
x6
|
4,422
|
|
0,375
|
0,188
|
0,000
|
-0,006
|
|
11,792
|
|
3
|
x1
|
162,678
|
|
160,000
|
160,000
|
160,000
|
160,000
|
|
1,017
|
|
4
|
x7
|
2,163
|
|
0,500
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
|
4,326
|
|
m+1
|
Z
|
683,248
|
|
671,100
|
671,400
|
672,000
|
672,000
|
|
X
|
|
m+2
|
F
|
-24359,448M
|
|
60,1M
|
-25058,4M
|
-25089M
|
-25089M
|
|
x
|
|
|
Симплексная таблица 4:
i
|
Базисные переменные
|
Свободные члены, bi
|
y3
|
х7
|
x3
|
x4
|
x5
|
y2
|
bi/aij
|
|
1
|
y1
|
-153,460
|
|
-319,000
|
-159,800
|
-161,000
|
-160,000
|
|
0,960
|
|
2
|
x6
|
3,341
|
|
0,750
|
0,188
|
0,000
|
-0,006
|
|
-0,021
|
|
3
|
x1
|
1,082
|
|
320,000
|
160,000
|
160,000
|
160,000
|
|
-0,007
|
|
4
|
х2
|
4,326
|
|
1,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
|
-0,006
|
|
m+1
|
Z
|
682,167
|
|
1342,200
|
671,400
|
672,000
|
672,000
|
|
-4,269
|
|
m+2
|
F
|
-243360,53М
|
|
120,2М
|
160,4M
|
-25089M
|
-25089M
|
|
x
|
|
|
Симплексная таблица 5:
i
|
Базисные переменные
|
Свободные члены, bi
|
y3
|
х7
|
у1
|
x4
|
x5
|
y2
|
bi/aij
|
|
1
|
х3
|
27,295
|
|
-319,000
|
1,000
|
-1,200
|
-25728,000
|
|
-
|
|
2
|
x6
|
-0,986
|
|
0,750
|
-0,001
|
0,000
|
-25568,006
|
|
-
|
|
3
|
x1
|
2,678
|
|
320,000
|
-1,001
|
-25567,800
|
-25408,000
|
|
-
|
|
4
|
х2
|
4,326
|
|
1,000
|
0,000
|
0,000
|
-25568,000
|
|
-
|
|
m+1
|
Z
|
677,841
|
|
1342,200
|
-4,202
|
-25055,800
|
-24896,000
|
|
х
|
|
m+2
|
F
|
0М
|
|
0М
|
0M
|
0M
|
0M
|
|
x
|
|
|
Ответ: оптимальный суточный рацион кормления коров на стойловый период состоит из 2,678 кг комбикорма, 4,326 кг сена и 27,295 кг силоса. При этом его себестоимость составляет 31,518 руб.
Задача 2. В хозяйстве необходимо за время уборки при заготовке силоса перевезти 4000т зелено й массы с пяти полей (табл. 5) к четырем фермам (табл. 6). Растояние перевозки зеленой массы с полей к фермам приведено в табл. 7.
Таблица 5. Количество зеленой массы с полей, т
№ варианта
|
Поле
|
|
|
1-е
|
2-е
|
3-е
|
4-е
|
5-е
|
|
0
|
800
|
1000
|
1200
|
400
|
600
|
|
|
Таблица 6. Потребность ферм в зеленой массе, т
№ варианта
|
Ферма
|
|
|
1-я
|
2-я
|
3-я
|
4-я
|
|
0
|
1000
|
600
|
800
|
1600
|
|
|
Таблица 7. Расстояние от полей до ферм, км
Поля
|
Ферма
|
|
|
1-я
|
2-я
|
3-я
|
4-я
|
|
1-е
|
5
|
6
|
2
|
2
|
|
2-е
|
9
|
7
|
4
|
6
|
|
3-е
|
7
|
1
|
4
|
5
|
|
4-е
|
5
|
2
|
2
|
4
|
|
5-е
|
6
|
4
|
3
|
4
|
|
|
Составить такой план перевозок, чтобы общие транспортные расходы были минимальными. Требуется решить задачу методом потенциалов.
Решение. Заполним расчетную таблицу и составим первый опорный план методом «наилучшего» элемента в таблице. Заполнение таблицы начинается с клетки 3,2 с наименьшим расстоянием, в которую записывается поставка 600 т. Затем последовательно заполняются клетки 4,3; 1,3; 1,4; 5,4; 3,5; 2,1
Поле
|
Ферма
|
Наличие зеленой массы, т
|
Ui
|
|
|
1-я
|
2-я
|
3-я
|
4-я
|
|
|
|
1-е
|
5
|
6
|
2-
|
2-
|
|
0
|
|
|
|
|
400
|
400
|
800
|
|
|
2-е
|
9-
|
7
|
4+
|
6+
|
|
5
|
|
|
1000
|
|
|
|
1000
|
|
|
3-е
|
7+
|
1
|
4
|
5
|
|
3
|
|
|
|
600
|
|
600
|
1200
|
|
|
4-е
|
5
|
2
|
2
|
4
|
|
0
|
|
|
|
|
400-
|
|
400
|
|
|
5-е
|
6
|
4
|
3
|
4-
|
|
2
|
|
|
|
|
|
600
|
600
|
|
|
Потребность в зеленой массе, т
|
1000
|
600
|
800
|
1600
|
4000
|
Z
|
|
Vj
|
4
|
-2
|
2
|
2
|
|
17400
|
|
|
Переходим к анализу первого опорного плана. Значение целевой функции 17400 тонна-километров.
Проверим, является ли план оптимальным. Если нет - улучшим его.
1. Рассчитаем значения потенциалов:
u1=0; v4=2-0=2; u3=5-2=3; u5=4-2=2; v1=7-3=4; v2=1-3=-2;
v3=2-0=2; u2=9-4=5; u4=4-2=2
2. Рассчитаем характеристики для свободных клеток:
d
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
1
|
5
|
8
|
0
|
0
|
|
2
|
0
|
4
|
-1
|
-1
|
|
3
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
4
|
1
|
4
|
0
|
2
|
|
5
|
0
|
4
|
-1
|
0
|
|
|
3. Максимальная по абсолютной величине отрицательная характеристика в клетке 2,3, для которой строим цепь.
4. Проставляем по углам цепи, начиная с выбранной клетки, знаки «+», «-«. В клетках со знаком «-« минимальная поставка. Ее перераспределяем по цепи. Там где стоит знак «+», прибавляем, а где «-« - отнимаем. Заполняем расчетную таблицу 2.
Поле
|
Ферма
|
Наличие зеленой массы, т
|
Ui
|
|
|
1-я
|
2-я
|
3-я
|
4-я
|
|
|
|
1-е
|
5
|
6
|
2
|
2
|
|
0
|
|
|
|
|
44
|
756
|
800
|
|
|
2-е
|
9
|
7
|
4
|
6
|
|
5
|
|
|
|
|
756
|
244
|
1000
|
|
|
3-е
|
7
|
1
|
4
|
5
|
|
3
|
|
|
400
|
600
|
|
200
|
1200
|
|
|
4-е
|
5
|
2
|
2
|
4
|
|
0
|
|
|
400
|
|
|
|
400
|
|
|
5-е
|
6
|
4
|
3
|
4
|
|
2
|
|
|
200
|
|
|
400
|
600
|
|
|
Потребность в зеленой массе, т
|
1000
|
600
|
800
|
1600
|
4000
|
Z
|
|
Vj
|
6
|
-2
|
2
|
2
|
|
15288
|
|
|
Расчеты ведем аналогично. Получены следующие характеристики: d51=-2
Перераспределяем по цепи поставку 400. Строим таблицу 3.
Поле
|
Ферма
|
Наличие зеленой массы, т
|
Ui
|
|
|
1-я
|
2-я
|
3-я
|
4-я
|
|
|
|
1-е
|
5
|
6
|
2
|
2
|
|
0
|
|
|
0
|
0
|
44
|
756
|
800
|
|
|
2-е
|
9
|
7
|
4
|
6
|
|
3
|
|
|
0
|
0
|
756
|
244
|
1000
|
|
|
3-е
|
7
|
1
|
4
|
5
|
|
1
|
|
|
0
|
600
|
0
|
600
|
1200
|
|
|
4-е
|
5
|
2
|
2
|
4
|
|
1
|
|
|
400
|
0
|
0
|
0
|
400
|
|
|
5-е
|
6
|
4
|
3
|
4
|
|
2
|
|
|
600
|
0
|
0
|
0
|
600
|
|
|
Потребность в зеленой массе, т
|
1000
|
600
|
800
|
1600
|
4000
|
Z
|
|
Vj
|
6
|
0
|
1
|
2
|
|
15288
|
|
|
Анализ решения: По оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии с полученной таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288 тонна-километров
Решение методом линейного прораммирования:
1. Проверим, прежде всего условие равенства ресурсов:
С полей поставляется: 800+1000+1200+400+600=4000т зеленой массы
Потребность ферм в зеленой массе: 1000+600+800+1600=4000т, т.е. ресурсы поставщиков равны ресурсам потребителей.
2. Пусть Xij - количество тонн зеленой массы, которое нужно перевезти с i поля на j ферму. Из условия задачи, получаем ограничения:
х11+х12+х13+х14=800
х21+х22+х23+х24=1000
х31+х32+х33+х34=1200
х41+х42+х43+х44=400
х51+х52+х53+х54=600
Из условия потребностей ферм:
х11+х21+х31+х41+х51=1000
х12+х22+х32+х42+х52=600
х13+х23+х33+х43+х53=800
х14+х24+х34+х44+х54=1600
Целевая функция задачи - количество тонна-километров:
Z= 5*х11+6*х12+2*х13+2*х14+
9*х21+7*х22+4*х23+6*х24+
7*х31+1*х32+4*х33+5*х34+
5*х41+2*х42+2*х43+4*х44+
6*х51+4*х52+3*х53+4*х54min
Решим систему при помощи таблицы Excel (меню «Сервис»/«Поиск решения»). Для этого запишем все ограничения и целевую функцию. В результате выполнения программы, получаем решение:
Поле
|
Ферма
|
Наличие зеленой массы, т
|
Сумма
|
|
|
1-я
|
2-я
|
3-я
|
4-я
|
|
|
|
1-е
|
5
|
6
|
2
|
2
|
|
|
|
|
0
|
0
|
44
|
756
|
800
|
800
|
|
2-е
|
9
|
7
|
4
|
6
|
|
|
|
|
0
|
0
|
756
|
244
|
1000
|
1000
|
|
3-е
|
7
|
1
|
4
|
5
|
|
|
|
|
0
|
600
|
0
|
600
|
1200
|
1200
|
|
4-е
|
5
|
2
|
2
|
4
|
|
|
|
|
400
|
0
|
0
|
0
|
400
|
400
|
|
5-е
|
6
|
4
|
3
|
4
|
|
|
|
|
600
|
0
|
0
|
0
|
600
|
600
|
|
Потребность в зеленой массе, т
|
1000
|
600
|
800
|
1600
|
|
Z
|
|
Сумма
|
1000
|
600
|
800
|
1600
|
|
15288
|
|
|
Ответ: По оптимальному плану необходимо осуществить перевозки в соответсвии с полученной таблицей. В этом случае минимальные затраты на перевозку будут 15288 тонна-километров.
|
|
|