Высшая математика в экономике

9

План

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3
• Задание 4
• Задание 5
• Задание 6
• Задача 7
• Задание 8
• Литература

Задание 1

Мебельной фабрике для изготовления комплектов корпусной мебели необходимо изготовить их составные части - книжный шкаф, шифоньер, тумба для аппаратуры. Эти данные представлены в таблице:

Наименование составных частей	Виды комплектов корпусной мебели
	1	2	3	4
Книжный шкаф	1	1	1	1
Шифоньер	1	1	1	1
Пенал	0	0	1	1
Тумба	0	1	0	1

В свою очередь, для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья - стекло (в кв. м), ДСП (в кв. м), ДВП (в кв. м), потребности в котором отражены в следующей таблице:

Вид сырья	Составные элементы
	Кн. шкаф	Шифоньер	Пенал	Тумба
Стекло	0,9	0	0,2	1,2
ДСП	6	6,5	6	2,5
ДВП	2,9	1,7	1,4	0,6

Требуется:

1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению стенок первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x1, x2, x3 и x4 штук;

2) провести подсчеты для значений x1 = 50, x2 = 30, x3 = 120 и x4=80.

Решение: составим условия для определения числа составных частей в зависимости от числа и вида комплектов мебели. Пусть n1, n2, n3 и n4 - число шкафов, шифоньеров, пеналов и тумб, соответственно.

Тогда условия будут выглядеть следующим образом:

n1 = x1 + x2

n2 = x1 + x2 + x4

n3 = x1 + x2 + x3

n4 = x1 + x2 + x3 + x4

Составим условия определяющие потребности в сырье в зависимости от вида деталей. Пусть y1, y2 и y3 - потребности в стекле, ДВП и ДСП, соответственно:

y1 = 0,9n1 + 0,2n3 + 1,2n4

y2 = 6n1 + 6,5n2 + 6n3 + 2,5n4

y3 = 2,9n1 + 1,7n2 + 1,4n3 + 0,6n4

Теперь подставим вместо ni - полученные ранее равенства.

y1 = 0,9· (x1 + x2) + 0,2· (x1 + x2 + x3) + 1,2· (x1 + x2 + x3 + x4)

y2 = 6· (x1 + x2) + 6,5· (x1 + x2 + x4) + 6· (x1 + x2 + x3) + 2,5· (x1 + x2 + x3 + x4)

y3 = 2,9· (x1 + x2) + 1,7· (x1 + x2 + x4) + 1,4· (x1 + x2 + x3) + 0,6· (x1 + x2 + x3 + x4)

Приведем подобные

y1 = 2,3x1 + 2,3x2 + 1,4x3 + 1,2x4, y2 = 21x1 + 21x2 + 8,5x3 + 9x4

y3 = 6,6x1 + 6,6x2 + 2x3 + 2,3x4

Проведем подсчеты для значений

x1 = 50, x2 = 30, x3 = 120 и x4 = 80

y1 = 2,3 * 50 + 2,3 * 30 + 1,4 * 120 + 1,2 * 80 = 448 кв. м.

y2 = 21 * 50 + 21 * 30 + 8,5 * 120 + 9 * 80 = 3420 кв. м.

y3 = 6,6 * 50 + 6,6 * 30 + 2 * 120 + 2,3 * 80 = 952 кв. м.

Задание 2

Пусть aij - количество продукции j, произведенной предприятием i, а bi - стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения aij и bi заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).

,

Решение:

Составим систему уравнений:

Матричное уравнение выглядит следующим образом:

A · X = B

Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A-1

A-1 · A · X = A-1 · B;

E · X = A-1 · B;

X = A-1 · B

Найдем обратную матрицу A-1

Д = 4 * 12 * 4 + 12 * 7 * 13 + 14 * 7 * 9 - 9 * 12 * 7 - 12 * 14 * 4 - 4 * 7 * 13 = 374

;

X =· = =

Решим систему методом Крамера

Д = 374

Д1 = = 97 * 12 * 4 + 129 * 7 * 13 + 14 * 7 * 109 - 109 * 12 * 7 - 129 * 14 * 4 - 97 * 7 * 13 = 1870

Д2 = = 4 * 129 * 4 + 12 * 7 * 109 + 97 * 7 * 9 - 9 * 129 * 7 - 12 * 97 * 4 - 4 * 7 * 109 = 1496

Д3 = = 4 * 12 * 109 + 12 * 97 * 13 + 14 * 129 * 9 - 9 * 12 * 97 - 12 * 14 * 109 - 4 * 129 * 13 = 1122

x1 = Д1/Д = 1870/374 = 5, x2 = Д2/Д = 1496/374 = 4

x3 = Д3/Д = 1122/374 = 3

Решим систему методом Гаусса

=> =>

=>

=> =>

Задание 3

Найти частные производные первого и второго порядков заданной функции:

Решение:

Задание 4

Задана функция спроса , где p1, p2 - цены на первый и второй товары соответственно.

Основываясь на свойствах функции спроса, определить: какой товар является исследуемым, а какой альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемого и альтернативного товаров.

В процессе решения отметить, какими являются данные товары - взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.

Решение:

Эластичность спроса по цене равна первой производной от функции спроса:

эластичность отрицательная, следовательно, первый товар - исследуемый.

эластичность отрицательная.

Товары являются товарами дополнителями, т.к рост цен на второй товар, как и рост цен на первый товар приводит к снижению спроса.

Задание 5

В таблице приведены данные о товарообороте магазина за прошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощью метода наименьших квадратов. Воспользовавшись найденным уравнением прямой, сделать прогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводить задачу чертежом, на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных и полученную прямую. Проанализировав чертеж, сделайте выводы.

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Товарооборот, (тыс. р)	22	4,4	37	57,4	55,4	72	91,6	78,4	58	59	42	37,6

Решение:

Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.

Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b (она вытекает из метода наименьших квадратов):

По исходным данным рассчитываем х, у, ух, х2, у2.

t	y	x	yx	x2	y2
1	22,0	1	22,0	1	484,00	36,688
2	4,4	2	8,8	4	19,36	39,332
3	37,0	3	111,0	9	1369,00	41,976
4	57,4	4	229,6	16	3294,76	44,62
5	55,4	5	277,0	25	3069,16	47,264
6	72,0	6	432,0	36	5184,00	49,908
7	91,6	7	641,2	49	8390,56	52,552
8	78,4	8	627,2	64	6146,56	55, 196
9	58,0	9	522,0	81	3364,00	57,84
10	59,0	10	590,0	100	3481,00	60,484
11	42,0	11	462,0	121	1764,00	63,128
12	37,6	12	451,2	144	1413,76	65,772
Итого	614,8	78	4374	650	37980,16	614,76

; ; ;

;

Уравнение регрессии: = 34,06 + 2,642 · х

Рассчитаем по данному уравнению значения для и запишем их в дополнительный столбец исходных данных. Найдем прогноз на полгода вперед:

= 34,06 + 2,642 * 18 = 81,636 тыс. руб.

Найдем прогноз на год вперед:

= 34,06 + 2,642 * 24 = 97,5 тыс. руб.

Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.

Задание 6

Исследовать на экстремум следующую функцию:

;

Решение:

Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов (там где производные равны нулю).

= 2x + y - 4; = 4y + x - 2;

; ; ; ;

Найдем вторые производные и их значения в точке (2; 0)

= 2 = А, = 1 = B

= 4 = C, Д = AC - B2 = 2 * 4 - 1 = 7

Т.е. в точке (2; 0) имеется экстремум.

Т.к. А > 0, то точка (2; 0) минимум функции.

Задача 7

Пусть функция полезности задана как

где x и y - количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 11, В = 17.

Решение:

Полезность максимальна при равенстве первых производных:

= ; = ; = ; =

Ограничение стоимости задается неравенством 11x + 17y ? 140

Составим систему.

; ; ;

Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 4,46 ед. А и 5,35 ед.в.

Задание 8

Заданы функции спроса и предложения в зависимости от количества товара Q: и . Под функциями спроса и предложения будем понимать функциональную зависимость цены от количества товара на рынке. Определить излишки потребителя и излишки производителя при равновесном состоянии спроса и предложения.

и ,

Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:

D (Q) = S (Q); = ; ; - t2 - 10t + 200 = 0

t1 = - 34,685 и t2 = 12,685, t1 - не удовлетворяет условию

=12,685; Q = 160,9 ед.

При этом цена составит: Р = 10 * 12,685 = 126,85 ден. ед.

Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверху кривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишки потребителя:

Sпотр = - 126,85 · 160,9 = - 20410,165 =

= 200 * 160,9 - 5/22 * 160,9 - 20410,165 = 11733,27 ден. ед.

Излишки производителя равны площади фигуры ограниченной сверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдем излишки производителя:

Sпроизв = 126,85 · 160,9 - = 20410,165 - =

= 20410,165 - 5 * 12,6853 = 10204,5 ден. ед.

Литература

1. Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

2. Н.Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

3. И.А. Зайцев. Высшая математика. -М.: Высшая школа, 1998.

4. Математический анализ и линейная алгебра. Учебное методическое пособие. Под ред. Н.Ш. Кремера. - ВЗФЭИ, 2006.